Duality and the Martin compactification

Soit $\mathscr{H}$ un faisceau de Bauer qui admet une fonction de Green. Il existe alors une diffusion correspondante à $\mathscr{H}$ dont la résolvante possède une résolvante duale (Hun-Kunita-Watanabe) qui est aussi définie par une diffusion. Soit $\mathscr{H}$ un faisceau de Brelot avec un faisceau adjoint ${\mathscr{H}}^{*}$. On a alors que le processus dual correspond à ${\mathscr{H}}^{*}$.

Le compactifié de Martin défini par un faisceau de Brelot qui admet une fonction de Green coïncide avec un des compactifiés de Kunita-Watanabe, définis par la résolvante duale.

Let $\mathscr{H}$ be a Bauer sheaf that admits a Green function. Then there exists a diffusion process corresponding to the sheaf whose resolvent possesses a Hunt-Kunita-Watanabe dual resolvent that comes from a diffusion process. If $\mathscr{H}$ is a Brelot sheaf which possesses an adjoint sheaf ${\mathscr{H}}^{*}$ the dual process corresponds to ${\mathscr{H}}^{*}$.

The Martin compactification defined by a Brelot sheaf $\mathscr{H}$ that admits a Green function coincides with a Kunita-Watanabe compactification defined by the dual resolvent.

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