Distribution of Chern–Simons invariants

Marché, Julien

Annales de l'Institut Fourier, Tome 69 (2019) no. 2, pp. 753-762.

Soit $M$ une 3-variété sans bord avec un ensemble fini de classes de conjugaison de représentations $\rho :{\pi }_1\left(M\right)\to {\text{SU}}_2$. On étudie la répartition des valeurs de la fonction de Chern–Simons $\text{CS}:X\left(M\right)\to ℝ/2\pi \mathbb{Z}$. On observe dans quelques exemples qu’elle ressemble à la répartition des résidus quadratiques. En particulier, pour quelques suites de 3-variétés, ces invariants tendent à se répartir uniformément sur le cercle avec des fluctuations de type bruit blanc d’ordre ${\left|X\left(M\right)\right|}^{-1/2}$. On prouve que pour une variété à bord torique, les invariants de Chern–Simons des remplissages de Dehn $M_{p/q}$ ont le même comportement quand $p$ et $q$ tendent vers l’infini et on calcule les fluctuations au premier ordre.

Let $M$ be a closed 3-manifold with a finite set $X\left(M\right)$ of conjugacy classes of representations $\rho :{\pi }_1\left(M\right)\to {\text{SU}}_2$. We study here the distribution of the values of the Chern–Simons function $\text{CS}:X\left(M\right)\to ℝ/2\pi \mathbb{Z}$. We observe in some examples that it resembles the distribution of quadratic residues. In particular for specific sequences of $3$-manifolds, the invariants tends to become equidistributed on the circle with white noise fluctuations of order ${\left|X\left(M\right)\right|}^{-1/2}$. We prove that for a manifold with toric boundary the Chern–Simons invariants of the Dehn fillings $M_{p/q}$ have the same behaviour when $p$ and $q$ go to infinity and compute fluctuations at first order.

Classification : 10X99, 14A12, 11L05
Keywords: Chern–Simons, 3-manifold, equidistribution, Gauss sum
Mot clés : Chern–Simons, 3-variété, équidistribution, Somme de Gauss

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