Dynamique des échanges d’intervalles des groupes de Higman-Thompson V r,m
Annales de l'Institut Fourier, Tome 64 (2014) no. 4, pp. 1477-1491.

Dans cet article, nous étudions la dynamique des échanges d’intervalles affines dont les pentes sont des puissances d’un même entier m et dont les coupures et leurs images sont des rationnels. Nous montrons qu’une telle application a une dynamique très simple  : toutes ses orbites sont propres et elle possède au moins une orbite périodique ou un cycle périodique. Comme corollaire de ce résultat, nous montrons que les éléments de distortion dans les groupes de Higman-Thompson V r,m sont ceux d’ordre fini.

In this paper, we study the dynamics of affine interval exchange transformations, whose slopes are integer powers of the same integer m, and whose cuts and their images are rational. We prove that such a map has very simple dynamics: all its orbits are proper and it has at least one periodic orbit or periodic cycle. As a corollary, we obtain that a distortion element of the Higman-Thompson group V r,m is of finite order.

DOI : 10.5802/aif.2887
Classification : 37E05, 37C85, 20F05
Mot clés : échanges d’intervalles affines, groupes, orbites périodiques, éléments de distortion
Keywords: Affine interval exchange transformations, groups, periodic orbits, distortion elements
Hmili, Hadda 1 ; Liousse, Isabelle 2

1 Faculté des Sciences de Bizerte Département de Mathématiques 7021 Jarzouna, Bizerte (Tunisie)
2 Université de Lille 1 U.F.R de Mathématiques Laboratoire Paul Painlevé 59655 Villeneuve d’Ascq Cédex (France)
@article{AIF_2014__64_4_1477_0,
     author = {Hmili, Hadda and Liousse, Isabelle},
     title = {Dynamique des \'echanges d{\textquoteright}intervalles  des groupes de {Higman-Thompson} $V_{r,m}$},
     journal = {Annales de l'Institut Fourier},
     pages = {1477--1491},
     publisher = {Association des Annales de l{\textquoteright}institut Fourier},
     volume = {64},
     number = {4},
     year = {2014},
     doi = {10.5802/aif.2887},
     zbl = {06387314},
     mrnumber = {3329670},
     language = {fr},
     url = {http://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.2887/}
}
TY  - JOUR
AU  - Hmili, Hadda
AU  - Liousse, Isabelle
TI  - Dynamique des échanges d’intervalles  des groupes de Higman-Thompson $V_{r,m}$
JO  - Annales de l'Institut Fourier
PY  - 2014
SP  - 1477
EP  - 1491
VL  - 64
IS  - 4
PB  - Association des Annales de l’institut Fourier
UR  - http://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.2887/
DO  - 10.5802/aif.2887
LA  - fr
ID  - AIF_2014__64_4_1477_0
ER  - 
%0 Journal Article
%A Hmili, Hadda
%A Liousse, Isabelle
%T Dynamique des échanges d’intervalles  des groupes de Higman-Thompson $V_{r,m}$
%J Annales de l'Institut Fourier
%D 2014
%P 1477-1491
%V 64
%N 4
%I Association des Annales de l’institut Fourier
%U http://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.2887/
%R 10.5802/aif.2887
%G fr
%F AIF_2014__64_4_1477_0
Hmili, Hadda; Liousse, Isabelle. Dynamique des échanges d’intervalles  des groupes de Higman-Thompson $V_{r,m}$. Annales de l'Institut Fourier, Tome 64 (2014) no. 4, pp. 1477-1491. doi : 10.5802/aif.2887. http://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.2887/

[1] Arnoux, Pierre Échanges d’intervalles et flots sur les surfaces, Ergodic theory (Sem., Les Plans-sur-Bex, 1980) (French) (Monograph. Enseign. Math.), Volume 29, Univ. Genève, Geneva, 1981, pp. 5-38 | MR | Zbl

[2] Avila, A. Distortion elements in Diff (/) (arXiv :0808.2334)

[3] Bleak, Collin; Bowman, Hannah; Gordon Lynch, Alison; Graham, Garrett; Hughes, Jacob; Matucci, Francesco; Sapir, Eugenia Centralizers in the R. Thompson group V n , Groups Geom. Dyn., Volume 7 (2013) no. 4, pp. 821-865 | DOI | MR

[4] Brown, Kenneth S. Finiteness properties of groups, J. Pure Appl. Algebra, Volume 44 (1987) no. 1-3, pp. 45-75 | DOI | MR | Zbl

[5] Calegari, Danny Denominator bounds in Thompson-like groups and flows, Groups Geom. Dyn., Volume 1 (2007) no. 2, pp. 101-109 | DOI | MR | Zbl

[6] Calegari, Danny; Freedman, Michael H. Distortion in transformation groups, Geom. Topol., Volume 10 (2006), pp. 267-293 (With an appendix by Yves de Cornulier) | DOI | MR | Zbl

[7] Cannon, J. W.; Floyd, W. J.; Parry, W. R. Introductory notes on Richard Thompson’s groups, Enseign. Math. (2), Volume 42 (1996) no. 3-4, pp. 215-256 | MR | Zbl

[8] Franks, John; Handel, Michael Distortion elements in group actions on surfaces, Duke Math. J., Volume 131 (2006) no. 3, pp. 441-468 | DOI | MR | Zbl

[9] Ghys, Étienne; Sergiescu, Vlad Sur un groupe remarquable de difféomorphismes du cercle, Comment. Math. Helv., Volume 62 (1987) no. 2, pp. 185-239 | DOI | MR | Zbl

[10] Godbillon, Claude Dynamical systems on surfaces, Universitext. [University Textbook], Springer-Verlag, Berlin-New York, 1983, pp. ii+201 (Translated from the French by H. G. Helfenstein) | MR | Zbl

[11] Gromov, M. Asymptotic invariants of infinite groups, Geometric group theory, Vol. 2 (Sussex, 1991) (London Math. Soc. Lecture Note Ser.), Volume 182, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1993, pp. 1-295 | MR

[12] Herman, Michael-Robert Sur la conjugaison différentiable des difféomorphismes du cercle à des rotations, Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. (1979) no. 49, pp. 5-233 | DOI | Numdam | MR | Zbl

[13] Higman, Graham Finitely presented infinite simple groups, Department of Pure Mathematics, Department of Mathematics, I.A.S. Australian National University, Canberra, 1974, pp. vii+82 Notes on Pure Mathematics, No. 8 (1974) | MR

[14] Kleptsyn, V. Sur une interprétation algorithmique du groupe de Thompson (En préparation)

[15] Levitt, G. Feuilletage des surfaces, Paris 7, juin (1983) (Ph. D. Thesis)

[16] Liousse, Isabelle Nombre de rotation, mesures invariantes et ratio set des homéomorphismes affines par morceaux du cercle, Ann. Inst. Fourier (Grenoble), Volume 55 (2005) no. 2, pp. 431-482 | DOI | Numdam | MR | Zbl

[17] Liousse, Isabelle Rotation numbers in Thompson-Stein groups and applications, Geom. Dedicata, Volume 131 (2008), pp. 49-71 | DOI | MR | Zbl

[18] Novak, Christopher F. Discontinuity-growth of interval-exchange maps, J. Mod. Dyn., Volume 3 (2009) no. 3, pp. 379-405 | DOI | MR | Zbl

[19] Schwartz, Arthur J. A generalization of a Poincaré-Bendixson theorem to closed two-dimensional manifolds, Amer. J. Math. 85 (1963), 453-458 ; errata, ibid, Volume 85 (1963), pp. 753 | Zbl

[20] Stein, Melanie Groups of piecewise linear homeomorphisms, Trans. Amer. Math. Soc., Volume 332 (1992) no. 2, pp. 477-514 | DOI | MR | Zbl

Cité par Sources :