The centralizer of a classical group and Bruhat-Tits buildings
[Le centralisateur d’un groupe classique et l’immeuble de Bruhat-Tits]
Annales de l'Institut Fourier, Tome 63 (2013) no. 2, pp. 515-546.

Soit G un groupe unitaire défini sur un corps local non-Archimédien de caractéristique résiduelle impaire et soit H le centralisateur d’un élément rationnel semi-simple de l’algèbre de Lie de G. Nous démontrons qu’il existe une application affine injective H-équivariante de l’immeuble de Bruhat-Tits 𝔅 1 (H) de H vers l’immeuble de Bruhat-Tits 𝔅 1 (G) de G qui préserve les filtrations de Moy-Prasad. La dernière propriété implique l’unicité comme suit  : soient j et j des applications de 𝔅 1 (H) vers 𝔅 1 (G) qui préservent les filtrations de Moy-Prasad. Nous démontrons que j et j sont égales s’il n’y a pas de tore deployé dans le centre de la composante connexe de H. En général, les deux diffèrent par une translation de 𝔅 1 (H) si elles sont affines et vérifient une autre conditon faible.

Let G be a unitary group defined over a non-Archimedean local field of odd residue characteristic and let H be the centralizer of a semisimple rational Lie algebra element of G. We prove that the Bruhat-Tits building 𝔅 1 (H) of H can be affinely and G-equivariantly embedded in the Bruhat-Tits building 𝔅 1 (G) of G so that the Moy-Prasad filtrations are preserved. The latter property forces uniqueness in the following way. Let j and j be maps from 𝔅 1 (H) to 𝔅 1 (G) which preserve the Moy–Prasad filtrations. We prove that if there is no split torus in the center of the connected component of H then j and j are equal, and in general if both maps are affine and satisfy a mild equivariance condition they differ up to a translation of 𝔅 1 (H).

DOI : 10.5802/aif.2768
Classification : 11E57, 11E95, 14L35, 20E42, 20G25
Keywords: Building, classical group over a local field, centralizer
Mot clés : immeuble, groupe classique sur un corps local, centralisateur
Skodlerack, Daniel 1

1 Universität Münster Mathematisches Institut Einsteinstrasse 62 48149 Münster (Germany)
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Skodlerack, Daniel. The centralizer of a classical group and Bruhat-Tits buildings. Annales de l'Institut Fourier, Tome 63 (2013) no. 2, pp. 515-546. doi : 10.5802/aif.2768. http://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.2768/

[1] Borel, A. Linear algebraic groups, Grad. Texts in Math., 126, Springer-Verlag, New York, 1991 (2nd enl. ed.) | MR | Zbl

[2] Broussous, P.; Lemaire, B. Building of GL (m,D) and centralizers, Transform. Groups, Volume 7 (2002) no. 1, pp. 15-50 | DOI | MR | Zbl

[3] Broussous, P.; Sécherre, V.; Stevens, S. Smooth representations of GL(m,D), V: Endo-classes (2010) (arXiv:1004.5032v1)

[4] Broussous, P.; Stevens, S. Buildings of classical groups and centralizers of Lie algebra elements, J. Lie Theory, Volume 19 (2009) no. 1, pp. 55-78 | MR | Zbl

[5] Brown, K.S. Buildings, Springer-Verlag, New York, 1989 | MR | Zbl

[6] Bruhat, F.; Tits, J. Groupes réductifs sur un corps local. II. Schémas en groupes. Existence d’une donnée radicielle valuée, Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. (1984) no. 60, pp. 197-376 | Numdam | MR | Zbl

[7] Bruhat, F.; Tits, J. Schémas en groupes et immeubles des groupes classiques sur un corps local, Bull. Soc. Math. France, Volume 112 (1984) no. 2, pp. 259-301 | Numdam | MR | Zbl

[8] Bruhat, F.; Tits, J. Schémas en groupes et immeubles des groupes classiques sur un corps local. II. Groupes unitaires, Bull. Soc. Math. France, Volume 115 (1987) no. 2, pp. 141-195 | Numdam | MR | Zbl

[9] Bushnell, C.J.; Kutzko, P.C. The admissible dual of GL (N) via compact open subgroups, Ann. of Math. Studies, 129, Princeton Univ. Press, Princeton, NJ, 1993 | MR | Zbl

[10] Knus, M.-A.; Merkurjev, A.; Rost, M.; Tignol, J.-P. The book of involutions, AMS Colloquium Publications, 44, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1998 | MR | Zbl

[11] Landvogt, E. Some functorial properties of the Bruhat-Tits building, J. Reine Angew. Math., Volume 518 (2000), pp. 213-241 | MR | Zbl

[12] Lemaire, B. Comparison of lattice filtrations and Moy-Prasad filtrations for classical groups, J. Lie Theory, Volume 19 (2009) no. 1, pp. 29-54 | MR | Zbl

[13] Moy, A.; Prasad, G. Unrefined minimal K-types for p-adic groups, Invent. Math., Volume 116 (1994) no. 1-3, pp. 393-408 | DOI | MR | Zbl

[14] Platonov, V.; Rapinchuk, A. Algebraic groups and number theory, Pure and Appl. Math., 139, Acad. press, Inc., BOSTON, 1994 (Transl. from the 1991 Russ. orig. by R. Rowen) | MR | Zbl

[15] Prasad, G.; Yu, J.-K. On finite group actions on reductive groups and buildings, Invent. Math., Volume 147 (2002) no. 3, pp. 545-560 | DOI | MR | Zbl

[16] Scharlau, W. Quadratic and Hermitian Forms, Springer-Verlag, Berlin and Heidelberg, 1985 | MR | Zbl

[17] Sécherre, V. Représentations lisses de GL (m,D). I. Caractères simples, Bull. Soc. Math. France, Volume 132 (2004) no. 3, pp. 327-396 | Numdam | MR | Zbl

[18] Sécherre, V. Représentations lisses de GL (m,D). II. β-extensions, Compos. Math., Volume 141 (2005) no. 6, pp. 1531-1550 | DOI | MR | Zbl

[19] Sécherre, V. Représentations lisses de GL (m,D). III. Types simples, Ann. Sci. École Norm. Sup. (4), Volume 38 (2005) no. 6, pp. 951-977 | Numdam | MR | Zbl

[20] Sécherre, V.; Stevens, S. Représentations lisses de GL m (D). IV. Représentations supercuspidales, J. Inst. Math. Jussieu, Volume 7 (2008) no. 3, pp. 527-574 | DOI | MR | Zbl

[21] Sécherre, V.; Stevens, S. Smooth Representations of GL m (D) VI: Semisimple Types (2011) (Int. Math. Res. Not.)

[22] Stevens, S. Semisimple characters for p-adic classical groups, Duke Math. J., Volume 127 (2005) no. 1, pp. 123-173 | DOI | MR | Zbl

[23] Weil, A. Adeles and algebraic groups, Prog. in Math., 23, Birkhäuser Boston, Mass., 1982 | MR | Zbl

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