Let be a del Pezzo surface of degree , and let be the simple Lie group of type . We construct a locally closed embedding of a universal torsor over into the -orbit of the highest weight vector of the adjoint representation. This embedding is equivariant with respect to the action of the Néron-Severi torus of identified with a maximal torus of extended by the group of scalars. Moreover, the -invariant hyperplane sections of the torsor defined by the roots of are the inverse images of the exceptional curves on .
Soit une surface de del Pezzo de degré , et soit un groupe de Lie simple de type . Nous montrons que tout torseur universel sur est un sous-ensemble localement fermé de la -orbite d’un vecteur du plus grand point de la représentation adjointe. Ce plongement est équivariant par rapport à l’action du tore de Néron–Severi de , identifié avec un tore maximal de l’extension de par le groupe de scalaires. En outre, les sections hyperplanes -invariantes du torseur définies par les racines de sont les images réciproques des courbes exceptionnelles de .
Keywords: Universal torsors, del Pezzo surfaces, Lie groups, homogeneous spaces
Mot clés : torseurs universels, surfaces de del Pezzo, groupes de Lie, espaces homogènes
@article{AIF_2011__61_6_2337_0, author = {Serganova, Vera V. and Skorobogatov, Alexei N.}, title = {Adjoint representation of $\text{\upshape E}_8$ and del {Pezzo} surfaces of degree $1$}, journal = {Annales de l'Institut Fourier}, pages = {2337--2360}, publisher = {Association des Annales de l{\textquoteright}institut Fourier}, volume = {61}, number = {6}, year = {2011}, doi = {10.5802/aif.2676}, zbl = {1257.14025}, mrnumber = {2976314}, language = {en}, url = {http://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.2676/} }
TY - JOUR AU - Serganova, Vera V. AU - Skorobogatov, Alexei N. TI - Adjoint representation of $\text{\upshape E}_8$ and del Pezzo surfaces of degree $1$ JO - Annales de l'Institut Fourier PY - 2011 SP - 2337 EP - 2360 VL - 61 IS - 6 PB - Association des Annales de l’institut Fourier UR - http://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.2676/ DO - 10.5802/aif.2676 LA - en ID - AIF_2011__61_6_2337_0 ER -
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Serganova, Vera V.; Skorobogatov, Alexei N. Adjoint representation of $\text{\upshape E}_8$ and del Pezzo surfaces of degree $1$. Annales de l'Institut Fourier, Volume 61 (2011) no. 6, pp. 2337-2360. doi : 10.5802/aif.2676. http://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.2676/
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