Different methods for the study of obstructions in the schemes of Jacobi
Annales de l'Institut Fourier, Volume 61 (2011) no. 2, pp. 453-490.

In this paper the problem of obstructions in Lie algebra deformations is studied from four different points of view. First, we illustrate the method of local ring, an alternative to Gerstenhaber’s method for Lie deformations. We draw parallels between both methods showing that an obstruction class corresponds to a nilpotent local parameter of a versal deformation of the law in the scheme of Jacobi. Then, an elimination process in the global ring, which defines the scheme, allows us to obtain nilpotent elements and to describe the global method. Finally, the obstruction problem is studied in the geometry defined by generators and relations. Under certain conditions, we prove that subschemes of grassmannians of T-invariant ideals of a free Lie algebra (T being a torus of derivations), after quotient by an action group, are the same as those defined from Jacobi polynomials after a similar quotient.

Le problème des obstructions aux déformations d’algèbres de Lie est étudié de quatre points de vue différents. On illustrera d’abord la méthode de l’anneau local, une alternative à la méthode de Gerstenhaber. On compare les deux méthodes en montrant qu’une classe d’obstruction correspond à un paramètre local nilpotent d’une déformation verselle de la loi dans le schéma de Jacobi. Un procédé d’élimination dans l’anneau global permet ensuite d’obtenir des éléments nilpotents, constituant ainsi une méthode globale. Enfin, le problème des obstructions est traité dans la géométrie définie par générateurs et relations. Des sous-schémas de grassmanniennes constitués d’idéaux T-invariants d’une algèbre de Lie libre (T étant un tore bien choisi), après quotient par une action de groupe, sont égaux à ceux définis par les polynômes de Jacobi après passage à un quotient similaire.

DOI: 10.5802/aif.2620
Classification: 17B30, 17B56, 17B01
Keywords: Deformation, obstruction, free Lie algebra
Mot clés : déformation, obstruction, algèbre de Lie libre
Carles, Roger 1; Márquez, M. Carmen 2

1 Université de Poitiers Laboratoire de Mathématiques et Applications UMR 6086 du CNRS 8692 Futuroscope Chasseneuil (France)
2 Universidad de Sevilla Departamento de Geometría y Topología Apdo. 1160 41080-Sevilla (Spain)
@article{AIF_2011__61_2_453_0,
     author = {Carles, Roger and M\'arquez, M. Carmen},
     title = {Different methods for the study of obstructions in the schemes of {Jacobi}},
     journal = {Annales de l'Institut Fourier},
     pages = {453--490},
     publisher = {Association des Annales de l{\textquoteright}institut Fourier},
     volume = {61},
     number = {2},
     year = {2011},
     doi = {10.5802/aif.2620},
     zbl = {1272.17016},
     mrnumber = {2895064},
     language = {en},
     url = {http://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.2620/}
}
TY  - JOUR
AU  - Carles, Roger
AU  - Márquez, M. Carmen
TI  - Different methods for the study of obstructions in the schemes of Jacobi
JO  - Annales de l'Institut Fourier
PY  - 2011
SP  - 453
EP  - 490
VL  - 61
IS  - 2
PB  - Association des Annales de l’institut Fourier
UR  - http://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.2620/
DO  - 10.5802/aif.2620
LA  - en
ID  - AIF_2011__61_2_453_0
ER  - 
%0 Journal Article
%A Carles, Roger
%A Márquez, M. Carmen
%T Different methods for the study of obstructions in the schemes of Jacobi
%J Annales de l'Institut Fourier
%D 2011
%P 453-490
%V 61
%N 2
%I Association des Annales de l’institut Fourier
%U http://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.2620/
%R 10.5802/aif.2620
%G en
%F AIF_2011__61_2_453_0
Carles, Roger; Márquez, M. Carmen. Different methods for the study of obstructions in the schemes of Jacobi. Annales de l'Institut Fourier, Volume 61 (2011) no. 2, pp. 453-490. doi : 10.5802/aif.2620. http://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.2620/

[1] Carles, R. Sur certaines classes d’algèbres de Lie rigides, Math. Ann., Volume 272 (1985), pp. 477-488 | DOI | MR | Zbl

[2] Carles, R. Un exemple d’algèbres de Lie résolubles rigides, au deuxième groupe de cohomologie non nul et pour lesquelles l’application quadratique de D. S. Rim est injective, C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math., Volume 300 (1985) no. 14, pp. 467-469 | MR | Zbl

[3] Carles, R. Sur la cohomologie d’une nouvelle classe d’algèbres de Lie qui généralisent les sous-algèbres de Borel, J. of Alg., Volume 154 (1993) no. 2, pp. 310-334 | DOI | MR | Zbl

[4] Carles, R. Construction des algèbres de Lie complètes, C. R. Acad. Sc. Paris, Volume 318 (1994), pp. 711-714 | MR | Zbl

[5] Carles, R. Déformations dans les schémas définis par les identités de Jacobi, Ann. Math. Blaise Pascal, Volume 3 (1996) no. 2, pp. 33-62 | DOI | Numdam | MR | Zbl

[6] Carles, R.; Petit, T. Versal deformations and versality in central extensions of Jacobi schemes, Transformation Groups, Volume 14 (2009) no. 2, pp. 287-317 | DOI | MR

[7] Dixmier, J. Cohomologie des algèbres de Lie nilpotentes, Acta Scientiarum Math., Volume 16 (1955) no. 3-4, pp. 246-250 | MR | Zbl

[8] Favre, G. Système de poids sur une algèbre de Lie nilpotente, Manuscripta Math., Volume 9 (1973), pp. 53-90 | DOI | MR | Zbl

[9] Fialowski, A. Deformations of Lie algebras, Math. USSR Sbornik, Volume 127(169) (1985), pp. 476-482 English translation: Math. USSR Sb. 55 (1986), no. 2, p. 467-473 | MR | Zbl

[10] Fialowski, A. An example of formal deformations of Lie algebras, NATO Conference on Deformation Theory of Algebras and Applications, Il Ciocco, Italy, 1986, Proceedings, Kluwer, Dordrecht (1988), pp. 375-401 | MR | Zbl

[11] Fialowski, A.; Fuchs, D. Construction of miniversal deformations of Lie algebras, J. Funct. Analysis, Volume 161 (1999), pp. 76-110 | DOI | MR | Zbl

[12] Gerstenhaber, M. On the deformations of rings and algebras, Ann. of Math., Volume 79 (1964), pp. 59-103 | DOI | MR | Zbl

[13] Nijenhuis, A.; Richardson, R. W. Cohomology and deformations in graded Lie algebras, Bull. Amer. Math. Soc., Volume 72 (1966), pp. 1-29 | DOI | MR | Zbl

[14] Rauch, G. Remarque sur les constantes de structure des C-algèbres de Lie de dimension finie, C. R. Acad. Sc. Paris, Volume 266 (1968), pp. 330-332 | MR | Zbl

[15] Richardson, R. W. On the rigidity of semi-direct products of Lie algebras, Pac. J. Math., Volume 22 (1967), pp. 339-344 | MR | Zbl

Cited by Sources: