We show that the number of derivatives of a non negative 2-order symbol needed to establish the classical Fefferman-Phong inequality is bounded by improving thus the bound obtained recently by N. Lerner and Y. Morimoto. In the case of symbols of type , we show that this number is bounded by ; more precisely, for a non negative symbol , the Fefferman-Phong inequality holds if are bounded for, roughly, . To obtain such results and others, we first prove an abstract result which says that the Fefferman-Phong inequality for a non negative symbol holds whenever all fourth partial derivatives of are in an algebra of bounded functions on the phase space, which satisfies essentially two assumptions : is, roughly, translation invariant and the operators associated to symbols in are bounded in .
Nous montrons que le nombre de dérivées d’un symbole non négatif d’ordre 2, nécessaire pour établir l’inégalité classique de Fefferman-Phong est majoré par améliorant ainsi la borne obtenue récemment par N. Lerner et Y. Morimoto. Dans le cas des symboles de type , nous montrons que ce nombre est majoré par ; plus précisément, pour un symbole non négatif , on a l’inégalité de Fefferman-Phong si les sont bornées en gros pour . Pour obtenir ces résultats et d’autres, nous commençons par établir un résultat abstrait qui dit que l’inégalité de Fefferman-Phong pour un symbole non négatif a lieu pourvu que les dérivées partielles d’ordre 4 de soient dans une algèbre de fonctions bornées sur l’espace des phases, qui vérifie essentiellement deux conditions : est, en gros, invariante par translation et les opérateurs associés aux symboles de sont bornés dans .
Keywords: Fefferman-Phong inequality, Gårding inequality, symbol, $S^m_{\varrho ,\delta }$, pseudodifferential operator, Weyl quantization, Wick quantization, semi-boundedness, $L^2$ boundedness, algebra of symbols, uniformly local Sobolev space, Hölder space, semi-classical, Weyl-Hörmander class
Mot clés : inégalité de Fefferman-Phong, inégalité de Gårding, symbole, $S^m_{\varrho ,\delta }$, opérateur pseudodifférentiel, quantification de Weyl, quantification de Wick, semi-borné, continuité $L^2$, algèbre de symboles, espace de Sobolev uniformément local, classe de Hölder, semi-classique, classe de Weyl-Hörmander
@article{AIF_2008__58_4_1093_0, author = {Boulkhemair, Abdesslam}, title = {On the {Fefferman-Phong} inequality}, journal = {Annales de l'Institut Fourier}, pages = {1093--1115}, publisher = {Association des Annales de l{\textquoteright}institut Fourier}, volume = {58}, number = {4}, year = {2008}, doi = {10.5802/aif.2379}, zbl = {1145.35099}, mrnumber = {2427955}, language = {en}, url = {http://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.2379/} }
TY - JOUR AU - Boulkhemair, Abdesslam TI - On the Fefferman-Phong inequality JO - Annales de l'Institut Fourier PY - 2008 SP - 1093 EP - 1115 VL - 58 IS - 4 PB - Association des Annales de l’institut Fourier UR - http://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.2379/ DO - 10.5802/aif.2379 LA - en ID - AIF_2008__58_4_1093_0 ER -
Boulkhemair, Abdesslam. On the Fefferman-Phong inequality. Annales de l'Institut Fourier, Volume 58 (2008) no. 4, pp. 1093-1115. doi : 10.5802/aif.2379. http://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.2379/
[1] Sur l’inégalité de Fefferman-Phong, Séminaire EDP, Ecole polytechnique (1998–1999) (Exposé no 3) | Numdam
[2] estimates for pseudodifferential operators, Ann. Sc. Norm. Sup. Pisa, Volume IV, XXII, 1 (1995), pp. 155-183 | Numdam | MR | Zbl
[3] Remarks on a Wiener type pseudodifferential algebra and Fourier integral operators, Math. Res. Lett., Volume 4 (1997), pp. 53-67 | MR | Zbl
[4] estimates for Weyl quantization, J. Funct. Anal., Volume 165 (1999), pp. 173-204 | DOI | MR | Zbl
[5] Au delà des opérateurs pseudodifférentiels, 57, Astérisque, 1978 | Numdam | Zbl
[6] On positivity of pseudodifferential operators, Proc. Nat. Acad. Sci., Volume 75 (1978), pp. 4673-4674 | DOI | MR | Zbl
[7] The analysis of partial differential operators, Springer Verlag, 1985 | Zbl
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[9] A Wiener algebra for the Fefferman-Phong inequality, Séminaire EDP, Ecole polytechnique (2005–2006) (Exposé no 17) | Numdam | MR | Zbl
[10] An algebra of pseudodifferential operators, Math. Res. Lett., Volume 1,2 (1994), pp. 189-192 | MR | Zbl
[11] On the Fefferman-Phong inequality and related problems, Comm. Partial Differential Equations, Volume 27 (2002) no. 11-12, pp. 2101-2138 | DOI | MR | Zbl
Cited by Sources: