Embedding subsets of tori Properly into ${ℂ}^2$

Nous avons fait des progrès sur le problème du plongement des surfaces de Riemann ouvertes dans ${ℂ}^2$. Il est connu que pour tout entier naturel $d\ge 2$, le nombre $N_d:=\left[\frac{3d}{2}\right]+1$ est le plus petit entier naturel pour lequel il existe un plongement propre de toute variété de Stein de dimension $d$ dans ${ℂ}^{N_d}$. Le problème du plongement propre des variétés de Stein de dimension 1 dans ${ℂ}^2$ reste ouvert (il existe du plongement propre dans ${ℂ}^3$). Dans ce texte nous prouvons le résultat suivant  : soit $𝕋$ un tore complexe de dimension 1  ; alors il existe un plongement propre de toute partie de $𝕋$, dont la frontière a un nombre fini de composantes (aucune d’elle n’étant un point), dans ${ℂ}^2$. Nous prouvons aussi que les algèbres de fonctions analytiques sur certaines surfaces de Riemann sont doublement générées.

Let $𝕋$ be a complex one-dimensional torus. We prove that all subsets of $𝕋$ with finitely many boundary components (none of them being points) embed properly into ${ℂ}^2$. We also show that the algebras of analytic functions on certain countably connected subsets of closed Riemann surfaces are doubly generated.

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