Non abelian Reidemeister torsion and volume form on the SU(2)-representation space of knot groups
Annales de l'Institut Fourier, Volume 55 (2005) no. 5, pp. 1685-1734.

For a knot K in the 3-sphere and a regular representation of its group G K into SU(2) we construct a non abelian Reidemeister torsion form on the first twisted cohomology group of the knot exterior. This non abelian Reidemeister torsion form provides a volume form on the SU(2)-representation space of G K . In another way, we construct using Casson’s original construction a natural volume form on the SU(2)-representation space of G K . Next, we compare these two apparently different points of view on the representation variety and finally prove that they produce the same topological knot.

Etant donné un noeud K dans la sphère tridimensionnelle et une représentation régulière de son groupe G K dans SU(2), on construit une forme torsion de Reidemeister non abélienne sur le premier groupe de cohomologie tordue de l’extérieur de K. Cette forme torsion de Reidemeister permet de définir une forme volume sur l’espace de représentations de G k dans SU(2). D’un autre point de vue, en s’inspirant de la construction originale de l’invariant de Casson, on construit une forme volume naturelle sur l’espace de représentations de G K dans SU(2). On établit enfin que ces deux points de vue en apparence distincts produisent en fait le même invariant topologique de noeuds.

DOI: 10.5802/aif.2136
Classification: 57M25, 57Q10, 57M27
Keywords: Knot groups, representation space, volume form, Reidemeister torsion, Casson invariant, adjoint representation, SU(2)
Mot clés : groupe de noeuds, espace de représentations, forme volume, torsion de Reidemeister, invariant de Casson, représentation adjointe, SU(2)
Dubois, Jérôme 1

1 Université de Genève, section de mathématiques, CP64, 2-4 rue du lièvre, 1211 Genève 4 (Suisse), Université Blaise Pascal, laboratoire de mathématiques, avenue des Landais, 63177 Aubière cedex (France)
@article{AIF_2005__55_5_1685_0,
     author = {Dubois, J\'er\^ome},
     title = {Non abelian {Reidemeister} torsion and volume form on the {SU(2)-representation} space of knot groups},
     journal = {Annales de l'Institut Fourier},
     pages = {1685--1734},
     publisher = {Association des Annales de l{\textquoteright}institut Fourier},
     volume = {55},
     number = {5},
     year = {2005},
     doi = {10.5802/aif.2136},
     mrnumber = {2172277},
     zbl = {1077.57009},
     language = {en},
     url = {http://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.2136/}
}
TY  - JOUR
AU  - Dubois, Jérôme
TI  - Non abelian Reidemeister torsion and volume form on the SU(2)-representation space of knot groups
JO  - Annales de l'Institut Fourier
PY  - 2005
SP  - 1685
EP  - 1734
VL  - 55
IS  - 5
PB  - Association des Annales de l’institut Fourier
UR  - http://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.2136/
DO  - 10.5802/aif.2136
LA  - en
ID  - AIF_2005__55_5_1685_0
ER  - 
%0 Journal Article
%A Dubois, Jérôme
%T Non abelian Reidemeister torsion and volume form on the SU(2)-representation space of knot groups
%J Annales de l'Institut Fourier
%D 2005
%P 1685-1734
%V 55
%N 5
%I Association des Annales de l’institut Fourier
%U http://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.2136/
%R 10.5802/aif.2136
%G en
%F AIF_2005__55_5_1685_0
Dubois, Jérôme. Non abelian Reidemeister torsion and volume form on the SU(2)-representation space of knot groups. Annales de l'Institut Fourier, Volume 55 (2005) no. 5, pp. 1685-1734. doi : 10.5802/aif.2136. http://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.2136/

[BZ] S. Boyer; X. Zhang Finite Dehn surgery on knots, J. Amer. Math. Soc., Volume 9 (1996), pp. 1005-1050 | DOI | MR | Zbl

[CF] R. Crowell; R. Fox Introduction to Knot Theory, Springer Verlag, 1963 | MR | Zbl

[CS] M. Culler; P. Shallen Varieties of group representations and splittings of 3-manifolds, Ann. of Math., Volume 117 (1983), pp. 109-146 | DOI | MR | Zbl

[Du1] J. Dubois Étude d'une 1-forme volume sur l'espace de représentations du groupe d'un noeud dans SU2, C. R. Acad. Sci. Paris, Sér. I, Volume 336 (2003), pp. 641-646 | MR | Zbl

[Du2] J. Dubois Torsion de Reidemeister non abélienne et forme volume sur l'espace des représentations du groupe d'un noeud (2003) (Thèse, Universit’e Blaise Pascal, http://te1.ccsd.cnrs.fr/documents/archives0/00/00/37/82)

[Du3] J. Dubois A volume form on the SU(2)-representation space of knot groups (2005) (to appear in Algebraic and Geometric Topology, arXiv:math.GT/0409529, http://arxiv.org/abs/math.GT/0409529)

[GM] L. Guillou; A. Marin Notes sur l'invariant de Casson des sphères d'homologie de dimension 3, Enseign. Math., Volume 38 (1992), pp. 233-290 | MR | Zbl

[He] M. Heusener An orientation for the SU(2)-representation space of knot groups, Topology and its Applications, Volume 127 (2003), pp. 175-197 | DOI | MR | Zbl

[HK] M. Heusener; E. Klassen Deformations of dihedral representations, Proc. Amer. Math. Soc., Volume 125 (1997), pp. 3039-3047 | DOI | MR | Zbl

[Kl] E. Klassen Representations of knot groups in SU(2), Trans. Amer. Math. Soc., Volume 326 (1991), pp. 795-828 | DOI | MR | Zbl

[Li] X.-S. Lin A knot invariant via representation spaces, J. Diff. Geom., Volume 35 (1992), pp. 337-357 | MR | Zbl

[Mi1] J. Milnor A duality theorem for Reidemeister torsion, Ann. of Math., Volume 76 (1962), pp. 134-147 | MR | Zbl

[Mi2] J. Milnor Whitehead torsion, Bull. Amer. Math. Soc., Volume 72 (1966), pp. 358-426 | DOI | MR | Zbl

[Pa] J. Park Half-density volumes of representation spaces of some 3-manifolds and their application, Duke Math. J., Volume 86 (1997), pp. 493-515 | DOI | MR | Zbl

[Po] J. Porti Torsion de Reidemeister pour les variétés hyperboliques, Memoirs of the Amer. Math. Soc., Volume 128 (1997) no. 612 | MR | Zbl

[Re] K. Reidemeister Homotopieringen und Linsenräume, Abh. Math. Semin. Hamburg. Univ., Volume 11 (1935), pp. 102-109 | DOI | JFM | Zbl

[Tu2] V. Turaev Introduction to combinatorial Torsions, Birkhäuser, 2001 | MR | Zbl

[Tu3] V. Turaev Torsions of 3-dimensional Manifolds, Birkhäuser, 2002 | MR | Zbl

[Tur1] V. Turaev Reidemeister torsion in knot theory (English version), Russian Math. Surveys, Volume 41 (1986), pp. 119-182 | MR | Zbl

[Wa] F. Waldhausen Algebraic K-theory of generalized free products, 1, Ann. of Math., Volume 108 (1978), pp. 135-204 | DOI | MR | Zbl

[We] A. Weil Remarks on the cohomology of groups, Ann. of Math., Volume 80 (1964), pp. 149-157 | DOI | MR | Zbl

[Wi] E. Witten On quantum gauge theories in two dimensions, Commun. Math. Phys., Volume 141 (1991), pp. 153-209 | DOI | MR | Zbl

Cited by Sources: