Uniformisation des variétés de Laumon-Rapoport-Stuhler et conjecture de Drinfeld-Carayol

Considérons les variétés de “$D$-faisceaux elliptiques” $ℰ\ell \ell$ introduites par Laumon, Rapoport et Stuhler, définies sur un corps de fonctions $F$ d’une variable sur un corps fini, où $D$ est une algèbre de division de dimension $d^2$ sur $F$. Nous montrons que ces variétés admettent, en une place $o$ de $F$ où $D_o$ est un corps gauche d’invariant $1/d$, une uniformisation rigide-analytique par l’espace de Drinfeld ${\Omega }^d$, ou par les revêtements ${\Sigma }_n^d$ de ${\Omega }^d$ (selon la structure de niveau). Ce résultat constitue l’analogue du théorème de Čerednik bien connu dans le cas des corps de nombres. Comme application, nous démontrons une conjecture de Carayol : la limite inductive ${\Psi }_d$, suivant $n$, des groupes de cohomologie $\ell$-adique avec support, en degré médian, des revêtements ${\Sigma }_n^d$ - sur laquelle agit le produit GL${}_d\left(F_o\right)\times D_o^{*}\times W_{F_o}$ - constitue une réalisation géométrique simultanée des correspondances locales de Langlands et de Jacquet-Langlands (du moins pour les cuspidales). Notre preuve est de nature “globale” : via le théorème d’uniformisation, on compare la représentation locale ${\Psi }_d$ à la cohomologie globale de la variété modulaire $ℰ\ell \ell$.

Let us consider Laumon-Rapoport-Stuhler modular varieties $ℰ\ell \ell$ for “$D$- elliptic sheaves”, which are defined over a function field $F$ in one variable over a finite field, for a division algebra $D$ of dimension $d^2$ over $F$. We show that these varieties admit, at a place $o$ of $F$ where $D_o$ is a skew field of invariant $1/d$, a rigid-analytic uniformization by Drinfeld’s space ${\Omega }^d$, or by the coverings ${\Sigma }_n^d$ of ${\Omega }^d$ (depending on the level structure). This result is the analogue of Čerednik’s theorem, which is well known in the number field case. As an application, we prove a conjecture of Carayol’s : the inductive limit ${\Psi }_d$ over $n$ of the $\ell$-adic cohomology groups with support, in median degree, of the coverings ${\Sigma }_n^d$ - on wich the product GL${}_d\left(F_o\right)\times D_o^{*}\times W_{F_o}$ acts - yields a geometrical simultaneous realization of the local Langlands and Jacquet-Langlands correspondences. Our proof is of “global” nature : using the uniformization theorem, we compare the local representation ${\Psi }_d$ to the global cohomology of the moduli variety $ℰ\ell \ell$ .

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