Division et composition dans l'anneau des séries de Dirichlet analytiques

Bayart, Frédéric; Mouze, Augustin

Annales de l'Institut Fourier, Volume 53 (2003) no. 7, pp. 2039-2060.

We study the local ring of analytic Dirichlet series. First we prove Weierstrass division type theorems and we deduce from them arithmetical properties of this ring. In particular we obtain that it is a unique factorization domain. Then we are interested in composition problems. Let $f\left(s\right)$ and $\varphi \left(s\right)$ be analytic Dirichlet series. It is well-known that $f(c_{0}s+\varphi \left(s\right)),$ with $c_0\in {\mathbb{N}}^{*},$ is an analytic Dirichlet series too. We obtain a converse. Suppose that $f\left(s\right)$ is a formal Dirichlet series and that $f(c_{0}s+\varphi \left(s\right))$ is analytic, we prove that $f\left(s\right)$ is itself analytic. We get similar results you studying the composition of power series by analytic Dirichlet series.

Ce travail est une étude analytique locale de l’anneau des séries de Dirichlet convergentes. Dans un premier temps, on établit des propriétés arithmétiques de cet anneau ; on prouve en particulier sa factorialité, que l’on déduit de théorèmes de division du type Weierstrass. Ensuite, on s’intéresse à des problèmes de composition. Soient $f\left(s\right)$ et $\varphi \left(s\right)$ des séries de Dirichlet convergentes. On sait que $f(c_{0}s+\varphi \left(s\right)),$ avec $c_0\in {\mathbb{N}}^{*},$ est encore une série de Dirichlet convergente. On étudie la réciproque : sous les hypothèses que $f\left(s\right)$ est une série de Dirichlet formelle et que $f(c_{0}s+\varphi \left(s\right))$ est analytique, on montre que $f\left(s\right)$ est elle-même analytique. On donne aussi des résultats analogues dans le cas mixte, c’est-à- dire lorsque l’on compose une fonction holomorphe par une série de Dirichlet convergente.

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