The Mumford-Tate group of 1-motives

Bertolin, Cristiana

Annales de l'Institut Fourier, Tome 52 (2002) no. 4, pp. 1041-1059.

Dans cet article on étudie la structure et les dégénérescences du groupe de Mumford-Tate $MT\left(M\right)$ d’un 1-motif $M$ défini sur $ℂ$. Ce groupe est un $\mathbb{Q}$-groupe algébrique qui agit sur la réalisation de Hodge de $M$ et qui est muni d’une filtration croissante $W_{•}$. On prouve que le radical unipotent de $MT\left(M\right)$, qui est $W_{-1}\left(MT\left(M\right)\right)$, s’injecte dans un groupe de Heisenberg “généralisé”. Ensuite on explique comment se réduire à l’étude du groupe de Mumford-Tate d’une somme directe de 1-motifs dont le groupe des caractères du tore et dont le réseau sont de rang 1. Puis on classifie et on étudie les dégénérescences de $MT\left(M\right)$, i.e. les phénomènes qui causent la chute de la dimension de $MT\left(M\right)$.

In this paper we study the structure and the degeneracies of the Mumford-Tate group $MT\left(M\right)$ of a 1-motive $M$ defined over $ℂ$. This group is an algebraic $\mathbb{Q}$- group acting on the Hodge realization of $M$ and endowed with an increasing filtration $W_{•}$. We prove that the unipotent radical of $MT\left(M\right)$, which is $W_{-1}\left(MT\left(M\right)\right)$, injects into a “generalized” Heisenberg group. We then explain how to reduce to the study of the Mumford-Tate group of a direct sum of 1-motives whose torus’character group and whose lattice are both of rank 1. Next we classify and we study the degeneracies of $MT\left(M\right)$, i.e., those phenomena which imply the decrement of the dimension of $MT\left(M\right)$.

Classification : 14L17, 11G99
Keywords: 1-motives, Mumford-Tate group, degeneracies, Poincaré biextension
Mot clés : 1-motifs, groupe de Mumford-Tate, dégénérescences, biextension de Poincaré

[A92] Y. André Mumford-Tate groups of mixed Hodge structures and the theorem of the fixed part, Compos. Math, Volume 82 (1992) | Numdam | MR | Zbl

[B01] C. Bertolin Périodes de 1-motifs et transcendance (To appear in the J. Number Th.) | MR | Zbl

[Be94] D. Bertrand; exposé 2 1-motifs et relations d'orthogonalité dans les groupes de Mordell-Weil, Problèmes Diophantiens 9293 (Publ. Math. Univ. Paris VI), Volume 108 (1996)

[Be98] D. Bertrand Relative splitting of one-motives, Number Theory (Tiruchirapalli, 1996) (Contemp. Math.), Volume 210 (1996) | Zbl

[Br87] L. Breen Biextensions alternées, Compos. Math., Volume 63 (1987) | Numdam | MR | Zbl

[By83] J.-L. Brylinski 1-motifs et formes automorphes (théorie arithmétique des domaines de Siegel)}, Publ. Math. Univ. Paris VII, Volume 15 (1983) | MR | Zbl

[D01] P. Deligne Letter to the author (2001)

[D75] P. Deligne Théorie de Hodge III, Pub. Math. de l'I.H.E.S, Volume 44 (1975) | Numdam | MR | Zbl

[D82] P. Deligne Hodge cycles on abelian varieties, Hodge cycles, motives and Shimura varieties, 900, Springer L.N., 1982 | Zbl

[DM82] P. Deligne; J.-S. Milne Tannakian categories, Hodge cycles, motives and Shimura varieties (L. N.), Volume 900 (1982) | Zbl

[JR87] O. Jacquinot; K. Ribet Deficient points on extensions of abelian varieties by ${𝔾}_m$, J. Number Th., Volume 25 (1987), pp. 133-151 | DOI | MR | Zbl

[LB92] H. Lange; C. Birkenhake Complex abelian varieties, 302, Springer-Verlag, 1992 | MR | Zbl

[S72] N. Saavedra; Rivano Catégories tannakiennes, L. N., 265, Springer, 1972 | MR