Intégration des fonctions sous-analytiques et volumes des sous-ensembles sous-analytiques
Annales de l'Institut Fourier, Tome 48 (1998) no. 3, pp. 755-767.

Soit f(x,y) une fonction sous-analytique de R n ×R m à valeurs dans R + . Nous montrons que l’intégrale R m f(x,y)dy est une fonction log-analytique de x. Nous en déduisons que le volume k-dimensionnel des éléments Y x d’une famille sous-analytique de sous-ensembles sous-analytiques globaux de l’espace euclidien R m est une fonction log-analytique de x. Un corollaire de ce résultat est le caractère log-analytique de la fonction densité k-dimensionnelle d’un sous-analytique global de dimension k en tout point de sa fermeture topologique.

Let f(x,y) be a positive subanalytic function defined on R n ×R m . We prove that the integral R m f(x,y)dy is a log-analytic function of x. Let Y x be a subanalytic family of global subanalytic subsets of the euclidean space R m . We deduce from the previous result that the k-dimensional volume of Y x is a log-analytic function of x. A corollary is the log-analytic behaviour of the k-dimensional density of a k-dimensional subanalytic set at any point of its topological closure.

@article{AIF_1998__48_3_755_0,
     author = {Lion, Jean-Marie and Rolin, Jean-Philippe},
     title = {Int\'egration des fonctions sous-analytiques et volumes des sous-ensembles sous-analytiques},
     journal = {Annales de l'Institut Fourier},
     pages = {755--767},
     publisher = {Association des Annales de l{\textquoteright}institut Fourier},
     volume = {48},
     number = {3},
     year = {1998},
     doi = {10.5802/aif.1637},
     mrnumber = {2000i:32011},
     zbl = {0912.32007},
     language = {fr},
     url = {http://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.1637/}
}
TY  - JOUR
AU  - Lion, Jean-Marie
AU  - Rolin, Jean-Philippe
TI  - Intégration des fonctions sous-analytiques et volumes des sous-ensembles sous-analytiques
JO  - Annales de l'Institut Fourier
PY  - 1998
SP  - 755
EP  - 767
VL  - 48
IS  - 3
PB  - Association des Annales de l’institut Fourier
UR  - http://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.1637/
DO  - 10.5802/aif.1637
LA  - fr
ID  - AIF_1998__48_3_755_0
ER  - 
%0 Journal Article
%A Lion, Jean-Marie
%A Rolin, Jean-Philippe
%T Intégration des fonctions sous-analytiques et volumes des sous-ensembles sous-analytiques
%J Annales de l'Institut Fourier
%D 1998
%P 755-767
%V 48
%N 3
%I Association des Annales de l’institut Fourier
%U http://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.1637/
%R 10.5802/aif.1637
%G fr
%F AIF_1998__48_3_755_0
Lion, Jean-Marie; Rolin, Jean-Philippe. Intégration des fonctions sous-analytiques et volumes des sous-ensembles sous-analytiques. Annales de l'Institut Fourier, Tome 48 (1998) no. 3, pp. 755-767. doi : 10.5802/aif.1637. http://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.1637/

[AGV] V.I. Arnold, A. Varchenko et S. Goussein-Zadé, Singularités des applications différentiables, MIR, Moscou, 1986.

[Ba] D. Barlet, Développement asymptotique des fonctions obtenues par intégration sur les fibres, Inv. Math., 68 (1982), 129-174. | EuDML | MR | Zbl

[BM] E. Bierstone et P. Milman, Semianalytic and subanalytic sets, Publ. Math. IHES, 67 (1988), 5-42. | EuDML | Numdam | MR | Zbl

[DMM] L. Van Den Dries, A. Macintyre et D. Marker, The elementary theory of restricted analytic fields with exponentiation, Annals of Maths, 140 (1994), 183-205. | MR | Zbl

[Ga] A. Gabrielov, Projections of semi-analytic sets, Funct. Anal. Appl., 2 (1968), 282-291. | MR | Zbl

[Hi] H. Hironaka, Subanalytic sets, Number Theory, Algebraic Geometry and Commutative Algebra, Tokyo, Kinokuniya, (1973), 453-493. | MR | Zbl

[Je] P. Jeanquartier, Intégration sur les fibres d'une fonction analytique, dans Introduction à la théorie algébrique des systèmes différentiels, 1-39, Travaux en cours, 34, Hermann, Paris (1988). | MR | Zbl

[KP] L. Karp et M. Pinsky, Volume of small extrinsic ball in a submanifold, Bull. London Math. Soc., 21 (1989), 87-92. | MR | Zbl

[KR] K. Kurdyka et G. Raby, Densité des ensembles sous-analytiques, Ann. Inst. Fourier, 39-3 (1989), 753-771. | EuDML | Numdam | MR | Zbl

[La] R. Langevin, Un peu de géométrie intégrale, Images des Mathématiques, CNRS, (1995), 58-67.

[LDT] Le Dung Trang, Geometry of monodromy and Nilpotency exponent, manuscrit (1979).

[Le] P. Lelong, Intégration sur un ensemble analytique complexe, Bull. Soc. Math. France, 85 (1957), 239-262. | Numdam | MR | Zbl

[LR] J.-M. Lion et J.-P. Rolin, Théorème de préparation pour les fonctions logarithmico-exponentielles, Ann. Inst. Fourier, 47-3 (1997), 859-884. | Numdam | MR | Zbl

[Lo] F. Loeser, Volumes des tubes autour des singularités, Duke Math. Journal, 53 (1986), 443-455. | MR | Zbl

[Łoj] S. Łojasiewicz, Stratifications et triangulations sous-analytiques, Università degli Studi di Bologna (1986). | Zbl

[Ma] B. Malgrange, Intégrales asymptotiques et monodromie, Ann. Scien. ENS, 7 (1974), 405-430. | Numdam | MR | Zbl

[Mi] C. Miller, Expansions of the real field with power functions, Ann. Pure Appl. Logic, 68 (1994). | MR | Zbl

[Ni] N. Nilsson, dans Arkiv för Mathematik.

[Pa] A. Parusiński, Lipschitz stratification of subanalytic sets, Ann. Scient. ENS, 27 (1994), 661-996. | Numdam | MR | Zbl

[Ro] C.A. Roche, Densities for certain leaves of real analytic foliations, Astérisque, 222 (1994), 373-387. | Numdam | MR | Zbl

[Sa] L.A. Santaló, Integral geometry and geometric probability dans Encyclopedia of mathematics and its applications, Addison-Wesley, Reading, Vol 1. | Zbl

[To] J.-C. Tougeron, Paramétrisations de petits chemins en géométrie analytique réelle, preprint Université de Rennes. | Zbl

Cité par Sources :