Ordre, convergence et sommabilité de produits de séries de Dirichlet
Annales de l'Institut Fourier, Volume 47 (1997) no. 2, pp. 485-529.

Optimal or almost optimal answers are given to the following questions, going back to Stieltjes, Landau and Bohr, about Dirichlet series A j = n=1 a(j,n)n -s (j=1,2,,k) and their product C= n=1 c(n)n -s .

1. Assuming that the A j converge at points ρ j and converge absolutely at points ρ j +τ j , at which points s does it follow that C converges ?

2. Assuming that the A j converge at points ρ j , at which points s does it follow that C converges ?

3. Assuming that the A j are α j -summable at points ρ j , at which points s does it follow that C is β-summable ?

The answers involve convex functions which enjoy another extremal property: they are the largest order (= Lindelöf) functions compatible with the data.

L’article donne des réponses optimales ou presque optimales aux questions suivantes, qui remontent à Stieltjes, Landau et Bohr, et concernent des séries de Dirichlet A j = n=1 a(j,n)n -s (j=1,2,,k) et leur produit C= n=1 c(n)n -s .

1. Supposant que les A j sont convergentes aux points ρ j et absolument convergentes aux points ρ j +τ j , en quels points s s’ensuit-il que C est convergente ?

2. Supposant que les A j sont convergentes aux points ρ j , en quels points s s’ensuit-il que C est convergente ?

3. Supposant que les A j sont α j -sommables aux points ρ j , en quels points s s’ensuit-il que C est β-sommable ?

Les réponses font intervenir des fonctions convexes qui jouent un rôle extrémal pour une autre question : ce sont les plus grandes fonctions d’ordre (dites aussi fonctions de Lindelöf) compatibles avec les données.

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Kahane, Jean-Pierre; Queffélec, Hervé. Ordre, convergence et sommabilité de produits de séries de Dirichlet. Annales de l'Institut Fourier, Volume 47 (1997) no. 2, pp. 485-529. doi : 10.5802/aif.1571. http://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.1571/

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Cited by Sources: