Sur certains sous-ensembles de l'espace euclidien
Annales de l'Institut Fourier, Volume 41 (1991) no. 3, pp. 679-717.

Let 𝒜 ˜ m be the algebra of functions on R m generated by polynomial functions and exponentials of linear forms. The subset S in R n belongs to 𝒫 n if and only if there exist m and F in 𝒜 ˜ n+m for which S is the image of the zerosubset of F by the canonical projection of R n+m onto R n . Let 𝒫 ˜ n be the smallest subset of parts in R n which contains 𝒫 n , their closures and the images by the canonical projection of the elements in 𝒫 ˜ n+m . The main goal of this article is to prove that 𝒫 ˜ n+m contains the complementary part of each element in 𝒫 ˜ n+m , the union and the intersection of every finite family in 𝒫 ˜ n+m .

Soit 𝒜 ˜ m l’algèbre des fonctions sur R n engendrée par les fonctions polynomiales et les exponentielles de formes linéaires. La partie S de R n appartient à 𝒫 n si et seulement s’il existe m et F dans 𝒜 ˜ n+m pour lesquels S est l’image par la projection canonique de R n+m sur R n , de l’ensemble des zéros de F. Soit 𝒫 ˜ n le plus petit sous-ensemble de parties de R n qui contient 𝒫 n , l’adhérence de ses éléments et les images par la projection canonique de R n qui contient 𝒫 n , l’adhérence de ses éléments et les images par la projection canonique de R n+m sur R n , des éléments de 𝒫 ˜ n+m . Le but principal de ce mémoire est de montrer que pour tout n, 𝒫 ˜ n est stable par intersection finie, par réunion finie et par passage complémentaire.

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Charbonnel, Jean-Yves. Sur certains sous-ensembles de l'espace euclidien. Annales de l'Institut Fourier, Volume 41 (1991) no. 3, pp. 679-717. doi : 10.5802/aif.1270. http://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.1270/

[Bo] N. Bourbaki, Fonctions d'une variable réelle, Chapitres 4, 5, 6, 7, Hermann, Paris, 1961. | Zbl

[Ch] J.-Y. Charbonnel, Méthode des orbites. Applications exponentielles et cônes polyédraux, preprint.

[Ga] A.M. Gabrielov, Sur les projections d'ensembles semi-analytiques, Analyse fonctionnelle et ses applications, tome 2, n°4 (1968).

[Go] E.A. Gorin, Asymptotic properties of polynomials and algebraic functions of severable variables, Russian mathematical surveys, Vol. 16, n°1 (1961), 93-119. | Zbl

[H] H. Hironaka, Introduction aux sous-ensembles sous-analytiques, Colloque sur les singularités en Géométrie Analytique (Cargèse 1972), Astérisque 7-8 (1973). | Numdam | Zbl

[Kh] A.G. Khovanskh, Sur une classe de systèmes d'équations transcendantes, Doklady Academii Nauk, tome 255, n°4, 804-807.

[Khl] A.G. Khovanskh, Variétés analytiques réelles ayant une propriété de finitude et Intégrales abéliennes complexes, Analyse fonctionnelle et ses applications, tome 18, n°2 (1984).

[Lo] S. Lojasiewicz, Ensembles semi-analytiques, Preprint I.H.E.S, (1965).

[Van] Van Den Dries, Tarski's problem and pfaffian functions, Logic colloquium'84, Studies in Logic and the foundations of Mathematics, North-Holland, 1986, p. 59-90. | MR | Zbl

[Va] A.N. Varchenko, Estimations du nombre des zéros d'une intégrale abélienne, dépendant d'un paramètre, et cycles limites, Analyse fonctionnelle et ses applications, tome 18, n°2 (1984). | Zbl

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