Solutions positives et mesure harmonique pour des opérateurs paraboliques dans des ouverts «lipschitziens»
Annales de l'Institut Fourier, Volume 41 (1991) no. 3, pp. 601-649.

Let L be a parabolic operator on R n+1 written in divergence form and with Lipschitz coefficients relatively to an adapted metric. We compare, near the boundary, the relative behavior of positive L-solutions on a Lipschitz domain. We first establish a so-called weak boundary Harnack principle. We then establish a uniform Harnack principle for certain particular positive L-solutions. This principle then allows us to prove another strong boundary Harnack principle for certain pairs of positive L-solutions. Then, we can generalize to L-operators some of J. T. Kemper results: we characterize the Martin boundary for “Lipschitz” domains and we show that the positive L-solutions on such domains admit non tangential limits except for a negligible set with respect to harmonic measure. Finally, in the last part, and for slightly more regular domains, we establish the equivalence between harmonic measure, adjoint harmonic measure and surface measure thus developing some results of J. M. Wu and R. Kaufman.

Soit L un opérateur parabolique sur R n+1 écrit sous forme divergence et à coefficients lipschitziens relativement à une métrique adaptée. Nous cherchons à comparer près de la frontière le comportement relatif des L-solutions positives sur un domaine “lipschitzien”. Dans un premier temps, nous démontrons un principe de Harnack uniforme pour certaines L-solutions positives. Ce principe nous permet alors de démontrer une inégalité de Harnack forte à la frontière pour certains couples de L-solutions positives. Nous sommes alors en mesure de généraliser aux opérateurs L des résultats de J. T. Kemper : nous caractérisons la frontière de Martin des ouverts “lipschitziens” et montrons que les L-solutions positives sur ces ouverts admettent des limites non tangentielles hors d’un ensemble négligeable pour la mesure harmonique. Enfin, dans une dernière partie, nous établissons pour des ouverts un peu plus réguliers, l’équivalence entre mesure harmonique, mesure harmonique adjointe et mesure de surface, précisant ainsi des travaux de J.M. Wu et R. Kaufman.

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Heurteaux, Yanick. Solutions positives et mesure harmonique pour des opérateurs paraboliques dans des ouverts «lipschitziens». Annales de l'Institut Fourier, Volume 41 (1991) no. 3, pp. 601-649. doi : 10.5802/aif.1267. http://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.1267/

[1] A. Ancona, Principe de Harnack à la frontière et théorème de Fatou pour un opérateur elliptique dans un domaine lipschitzien, Ann. Inst. Fourier, 28-4 (1978), 162-213. | Numdam | MR | Zbl

[2] A. Ancona, Une propriété de la compactification de Martin d'un domaine euclidien, Ann. Inst. Fourier, 29-4 (1979), 71-90. | Numdam | MR | Zbl

[3] A. Ancona, Régularité d'accés des bouts et frontière de Martin d'un domaine euclidien, J. Math. Pures & Appl., 63 (1984), 215-260. | MR | Zbl

[4] A. Ancona, Comparaison des mesures harmoniques et des fonctions de Green pour des opérateurs elliptiques sur un domaine lipschitzien, C. R. Acad. Sc., Paris 294, série 1 (1982), 505-508. | MR | Zbl

[5] D.G. Aronson, Bounds for the fundamental solution of a parabolic equation, Bull. Amer. Math. Soc., 73 (1967), 890-896. | MR | Zbl

[6] L. Carleson, On the existence of boundary values for harmonic functions of several variables, Ark. för Math., 4 (1962).. | MR | Zbl

[7] B. Dalhberg, Estimates of harmonic measure, Arch. Rat. Mech. and Anal., 65, n°3 (1978), 275-288. | Zbl

[8] J.L. Doob, A relative Fatou theorem, Proc. Nat. Acad. Sci., USA, 45 (1959), 215-222. | MR | Zbl

[9] J.L. Doob, Classical potential theory and its probabilistic counterpart, New York, Springer-Verlag, 1984. | MR | Zbl

[10] E.B. Fabes & D.W. Stroock, A new proof of Moser's parabolic Harnack inequality via the old idea of Nash. Arch. Rat. Mech. and Anal., 96 (1986), 326-338. | MR | Zbl

[11] E.B. Fabes, N. Garofalo & S. Salsa, Comparison Theorems for Temperatures in non-cylindrical domains, Atti della Accademia Nazionale dei Lincei, 77 (1984), 1-12. | MR | Zbl

[12] E.B. Fabes, N. Garofalo & S. Salsa, A backward Harnack inequality and Fatou theorem for nonnegative solutions of parabolic equations, Illin. J. of Maths., 30 n°4 (1986), 536-565. | MR | Zbl

[13] E.B. Fabes, N. Garofalo & E. Lanconelli, Wiener's criterion for divergence form parabolic operators with C1-Dini continious coefficients, Duke Math. Journal, 59-1 (1989), 191-232. | MR | Zbl

[14] A. Friedman, Partial differential equations of parabolic type, Prentice-Hall, Englewood cliffs, N.J., 1964. | MR | Zbl

[15] R.M. Herve, Recherches sur la théorie axiomatique des fonctions surharmoniques et du potentiel, Ann. Inst. Fourier, 12 (1962), 415-471. | Numdam | MR | Zbl

[16] Y. Heurteaux, Inégalités de Harnack à la frontière pour des opérateurs paraboliques, thèse Paris 11, France, 1989. | MR | Zbl

[17] Y. Heurteaux, Inégalités de Harnack à la frontière pour des opérateurs paraboliques, C.R. Acad. Sci., Paris, 308, série 1 (1989), 401-404. | MR | Zbl

[18] Y. Heurteaux, Inégalités de Harnack à la frontière pour des opérateurs paraboliques (2). Estimations de la mesure harmonique de certains ouverts de Rn+1, C.R. Acad. Sci., Paris, 308, série 1 (1989), 441-444. | Zbl

[19] R.A. Hunt & R.L. Wheeden, On the boundary values of harmonic functions, Trans. Amer. Math. Soc., 32 (1968), 307-322. | MR | Zbl

[20] R.A. Hunt & R.L. Wheeden, Positive harmonic functions on Lipschitz domains, Trans. Amer. Math. Soc., 147 (1970), 507-528. | MR | Zbl

[21] R. Kaufman & J.M. Wu, Singularity of parabolic measures, Compositio Mathematica, 40 n°2 (1980), 243-250. | Numdam | MR | Zbl

[22] J.T. Kemper, Temperatures in several variables: kernel functions, representations and parabolic boundary values, Trans. Amer. Math. Soc., 167 (1972), 243-262. | MR | Zbl

[23] J.L. Lewis & J. Silver, Parabolic measure and the Dirichlet problem for the heat equation in two dimensions, Ind. U. Maths. Journal, 37, n°3 (1988). | MR | Zbl

[24] R.S. Martin, Minimal positive harmonic functions, Trans. Amer. Math. Soc., (1941), 137-172. | JFM | MR | Zbl

[25] J. Moser, A Harnack inequality for parabolic differential equations, Comm. Pure & Appl. Math., 17 (1964), 101-134. | MR | Zbl

[26] W. Rudin, Real and complex analysis, 2nd. ed., Mc Graw-Hill, 1974. | MR | Zbl

[27] J. Serrin, On the Harnack inequality for linear elliptic equations, J. Anal. Math., 4 (1956), 292-308. | MR | Zbl

[28] D. Sibony, Théorème de limites fines et problème de Dirichlet, Ann. Inst. Fourier, 18-2 (1968), 121-134. | Numdam | MR | Zbl

[29] K.O. Widman, On the boundary behavior of solutions to a class of elliptic partial differential equations, Ark. för Math., 6 (1967), 485-533. | MR | Zbl

[30] J.M. Wu, On parabolic measures and subparabolic functions, Trans. Amer. Math. Soc., 251 (1979), 171-186. | MR | Zbl

Cited by Sources: