Espaces de Sobolev gaussiens
Annales de l'Institut Fourier, Volume 39 (1989) no. 4, pp. 875-908.

Let μ be a gaussian measure on a locally convex linear space E. We give a new point of view on the first Sobolev space W(E,μ) built on E with respect to μ. The differential f of fW(E,μ) is a function of two variables (x,y)E×E, which is “quasi-linear” in the second variable.

The differential of a stochastic integral is a stochastic integral on E×E with respect to μμ.

The natural “gaussian procapacity” is a true capacity if E is a Banach or a Frechet space or the weak dual of a separable Frechet nuclear space.

Any fW(E,μ) is equal μ-almost everywhere to a quasi-continuous function g, moreover any such g has for any Cameron-Martin direction the absolute continuity property in almost every line parallel to this direction.

Soit μ une mesure gaussienne sur un espace localement convexe E. On donne un nouveau point de vue sur le premier espace de Sobolev W(E,μ) construit sur E et μ. La différentielle f de fW(E,μ) est une fonction de deux variables (x,y)E×E, “quasi-linéaire” dans la seconde variable.

La différentielle d’une intégrale stochastique est une intégrale stochastique sur E×E muni de μ×μ.

On montre que la “procapacité gaussienne” naturelle est une vraie capacité si E est un espace de Banach ou de Fréchet ou le dual faible d’un espace de Fréchet séparable et nucléaire.

On montre aussi que toute fW(E,μ) vaut μ-presque partout une fonction quasi-continue, et que tous ses représentants quasi-continus sont absolument continus sur presque toute droite parallèle à une direction de Cameron-Martin.

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