In his Bourbaki talk 409, Katz conjectured the -adic meromorphy of the function attached to a smooth variety over a finite field and to an -crystal on . If is proper and smooth over we prove that is rational and given by the usual formula using the action of Frobenius on crystalline cohomology with coefficients in ; this result was only known, via “Weil conjectures”, for particular unit-root -crystals: those issued of a representation of through a finite quotient. The proof of the theorem involves the formalism of a cohomology class associated to a morphism of crystals, extending the fundamental class of an algebraic cycle, and leading to a Lefschetz trace formula. When is a unit-root -crystal the link between crystalline cohomology and De Rham-Witt complex with coefficients in enables us to interpret zeroes and poles of of the form , an integer. Under certain hypotheses this complex yields also equivalents of the function in the neighbourhood of the preceding poles: these results extend those of Milne for zeta functions.
Dans l’exposé Bourbaki 409, Katz conjecture la méromorphie -adique de la fonction attachée à une variété lisse sur un corps fini () et à un -cristal sur . Si est propre et lisse sur nous prouvons que est rationnelle et fournie par l’expression habituelle utilisant l’action du Frobenius sur la cohomologie cristalline à coefficients dans ; ce résultat n’était connu, via les “conjectures de Weil”, que pour des -cristaux unités particuliers: ceux provenant d’une représentation de factorisable par un quotient fini. Ce théorème nécessite le développement d’un formalisme de classe de cohomologie associée à un morphisme de cristaux, généralisant la classe fondamentale d’un cycle algébrique, et amenant à une formule des traces de Lefschetz.
Lorsque est un -cristal unité le lien entre cohomologie cristalline et complexe de De Rham-Witt à coefficients dans permet alors d’interpréter les zéros et pôles de de la forme , entier. Sous certaines hypothèses ce complexe fournit également des équivalents de au voisinage des pôles précédents : ces résultats généralisent ceux de Milne pour les fonctions zêta.
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Étesse, Jean-Yves. Rationalité et valeurs de fonctions $L$ en cohomologie cristalline. Annales de l'Institut Fourier, Volume 38 (1988) no. 4, pp. 33-92. doi : 10.5802/aif.1149. http://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.1149/
[B-N] On values of Zeta Functions and l-adic Euler characteristics, Invent. Math., 50 (1978), 35-64. | MR | Zbl
, ,[B 1] Cohomologie cristalline des schémas de caractéristique p > 0, Lecture Notes in Math., n° 407, Springer Verlag, 1974. | MR | Zbl
,[B 2] Sur le "théorème de Lefschetz faible" en cohomologie cristalline, C.R.A.S. Paris, t. 277, 12 nov. 1973, série A, p. 955-958. | MR | Zbl
,[B 3] Le théorème de dualité plate pour les surfaces, d'après J. S. Milne, dans "Surfaces algébriques", Lecture Notes in Math., n° 868, Springer Verlag, 1981. | MR | Zbl
,[B-M] Théorie de Dieudonné cristalline I, Astérisque, 63 (1979), 17-38. | Numdam | MR | Zbl
, ,[B-O 1] Notes on Crystalline Cohomology, Mathematical Notes, n° 21, Princeton University Press, (1978). | MR | Zbl
, ,[B-O 2] F-isocrystals and De Rham Cohomology I, Invent. Math,. 72 (1983), 159-199. | MR | Zbl
, ,[Bour] Algèbre et Algèbre commutative, Hermann.
,[C-E] Homological Algebra, Princeton University Press, 1956. | MR | Zbl
, ,[Cr 1] L-functions of p-adic characters and geometric Iwasawa theory, Invent. Math., 88 (1987), 395-403. | MR | Zbl
:[Cr 2] F-isocrystals and p-adic representations. Algebraic geometry-Bowdoin 1985, PSPM, 46, Part 2 (1987), 111-138. | MR | Zbl
,[C-S-S] Torsion dans le groupe de Chow de codimension deux, Duke Math. Journal, vol. 50, n° 3 (sept. 1983). | MR | Zbl
, , ,[D] La conjecture de Weil I, Publ. Math. I.H.E.S., n° 43. | Numdam
,[E 0] Complexe de De Rham-Witt à coefficients dans un F-cristal unité et dualité plate pour les surfaces. Thèse 3e cycle, Rennes 1981.
,[E 1] Complexe de De Rham-Witt à coefficients dans un cristal Compositio Math., 66 (1988), 57-120. | Numdam | MR | Zbl
,[E 2] Dualité plate pour les surfaces, à coeffients dans un groupe de type multiplicatif. Preprint Rennes. (A paraître au Bulletin de la SMF.). | Numdam
,[EGA] Éléments de géométrie algébrique, Publ. Math. I.H.E.S. 8, 11, 17, 20, 24, 28, 32. EGA I, Grundlehren n° 166, Springer-Verlag, 1971. | Numdam | Zbl
, ,[G] Classes de Chern et classes de cycles en cohomologie logarithmique, Bull. Soc. Math. Fr., 113, Fasc. 4 (1985). | Numdam | MR | Zbl
,[Ga] Sur la torsion dans la cohomologie l-adique d'une variété, C.R. Acad. Sc. Paris, t. 297, Série I (1983), 179-182. | MR | Zbl
,[Gr] Formule de Lefschetz et rationalité des fonctions L, Séminaire Bourbaki n° 279, décembre 1964. | Numdam | Zbl
,[I] Complexe de De Rham-Witt et cohomologie cristalline, Ann. Scient. Ec. Norm. Sup., 4e série, t. 12 (1979), 501-661. | Numdam | MR | Zbl
,[I-R] Les suites spectrales associées au complexe de De Rham-Witt, Publ. Math. I.H.E.S., n° 57. | Numdam | Zbl
, ,[K 1] Travaux de Dwork, Séminaire Bourbaki n° 409, février 1972, Lecture Notes in Math., n° 383, Springer Verlag. | Numdam
,[K 2] Crystalline Cohomology, Dieudonné modules and Jacobi sums, in Automorphic forms, Bombay 1979, Springer Verlag, 1981. | Zbl
,[K 3] p-adic properties of modular schemes and modular forms, dans "Modular Functions of one Variable III", Lecture Notes in Math., n° 350, Springer Verlag (1973). | MR | Zbl
,[K-M] Some Consequences of the Riemann Hypothesis for Varieties over Finite Fields, Inventiones Math., 23 (1974), 73-77. | MR | Zbl
, ,[L 1] Values of zeta and L-functions at zero, Astérisque, (1975), 24-25. | Numdam | MR | Zbl
,[L 2] Zeta functions of varieties over finite fields at s = 1, Arithmetic and Geometry, Progress in Math. 35, Birkhäuser (1983), 173-194. | MR | Zbl
,[L 3] Values of zeta-functions at non-negative integers, Journées arithmétiques, Noordwijkerhout, July 1983. | Zbl
,[M 1] On a conjecture of Artin and Tate, Annals of Math., 102 (1975), 517-533. | MR | Zbl
,[M 2] Duality in the Flat Cohomology of a Surface, Ann. Scient. Ec. Norm., Sup. 4e série, t. 9 (1976), 171-202. | Numdam | MR | Zbl
,[M 3] Etale cohomology, Princeton University Press, 1980. | MR | Zbl
,[M 4] Values of Zeta Functions of Varieties over Finite Fields, Am. Jour. of Math., 108 (1986), 297-360. | MR | Zbl
,[M 5] Values of Zeta Functions over Finite Fields : Complements and Corrections to, Amer. J. Math., 108 (1986), 297-360 5th May, 1986. | Zbl
,[O] F-crystals and Griffiths transversality, Int. Symposium on Algebraic Geometry, Kyoto (1977), 15-44. | MR | Zbl
,[Sa] Catégories tanakiennes, Lecture Notes in Math., n° 265, Springer Verlag (1972). | Zbl
,[Sch] On the values of the zeta function of a variety over a finite field, Compositio Math., 46 (1982), 133-143. | Numdam | MR | Zbl
,[Se 1] Corps locaux, Hermann, 1968.
,[Se 2] Groupes pro-algébriques, Publ. Math. I.H.E.S. n° 7 (1960). | Numdam
,[Se 3] Représentations linéaires des groupes finis, Hermann, 1967. | MR | Zbl
,[Se 4] Sur la topologie des variétés algébriques en caractéristique p, Symposium internacional de topologia algebraica, Mexico (1958), 24-53. | MR | Zbl
,[SGA 41/2] Cohomologie étale, Lecture Notes in Math., n° 569, Springer Verlag (1977). | Zbl
[SGA 5] Cohomologie l-adique et fonctions L, Lecture Notes in Math. n° 589, Springer Verlag (1977). | Zbl
[SGA 6] Théorie des intersections et théorème de Riemann-Roch, Lecture Notes in Math., n° 225, Springer Verlag (1971).
[T] On a conjecture of Birch and Swinnerton-Dyer and a geometric analogue, Dix exposés sur la cohomologie des schémas, North-Holland, Amsterdam (1968), 189-214. | Numdam | Zbl
,Cited by Sources: