Let be a polynomially convex compact set of and its “logarithmic extremal potential” in . Suppose that is regular (e.g. continuous) and let be a holomorphic function on a neightborhood of . We construct a sequence of polynomials in complex variables with deg for every , such that the approximation error is estimated in terms of the “pseudoradius of convergence” of with respect to and the degree of convergence . This result is then used to extend to the classical S.N. Bernstein’s result relating the prolongation of a continuous function on by an entire function of given order and type to the best polynomial approximation error of on .
Soit un compact polynomialement convexe de et son “potentiel logarithmique extrémal” dans . Supposons que est régulier (i.e. continue) et soit une fonction holomorphe sur un voisinage de . On construit alors une suite de polynôme de variables complexes avec deg pour , telle que l’erreur d’approximation soit contrôlée de façon assez précise en fonction du “pseudorayon de convergence” de par rapport à et du degré de convergence . Ce résultat est ensuite utilisé pour étendre à un résultat classique de S.N. Bernstein liant le prolongement analytique d’une fonction continue sur par une fonction entière d’ordre et de type donnés au comportement asymptotique de l’erreur de la meilleure approximation polynomiale de sur .
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Zeriahi, Ahmed. Meilleure approximation polynomiale et croissance des fonctions entières sur certaines variétés algébriques affines. Annales de l'Institut Fourier, Volume 37 (1987) no. 2, pp. 79-104. doi : 10.5802/aif.1087. http://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.1087/
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