Espace des twisteurs d’une variété quaternionique Kähler généralisée

Deschamps, Guillaume

Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Série 6, Tome 26 (2017) no. 3, pp. 539-568.

Munir une variété $M$ de dimension $4n$ d’une structure presque quaternionique $Q$ revient précisément à lui associer un fibré des twisteurs $Z\left(Q\right)⟶M$. Lorsque $Q$ est stable par une connexion sans torsion, on peut munir $Z\left(Q\right)$ d’une structure presque complexe $𝒥$. Dans le cas $n=1$, les travaux d’Atiyah, Hitchin et Singer [2] ont permis de relier l’intégrabilité de $𝒥$ à la géométrie de la variété $(M,Q)$. Pour $n>1$, Salamon [23, 24] a montré que la structure presque complexe $𝒥$ sur $Z\left(Q\right)$ est toujours intégrable. Pantilie [21] a remarqué qu’on pouvait étendre ces résultats à la géométrie complexe généralisée. Ainsi il définit ce qu’est une variété presque quaternionique généralisée $(M,𝒬)$ et lui associe un ${𝕊}^2$-fibré $𝒵\left(𝒬\right)⟶M$. Comme dans le cas classique, lorsque $𝒬$ est stable par une connexion sans torsion (au sens des connexions généralisées), il munit $𝒵\left(𝒬\right)$ d’une structure presque complexe généralisée $𝕁$ mais ne donne pas de critère d’intégrabilité. Le but de cette article est précisément de donner un critère d’intégrabilité pour $𝕁$. Nous étudierons ensuite plus particulièrement le cas où $(M,g,𝒬)$ est une variété quaternionique Kähler généralisée et verrons qu’alors $𝒥$ est automatiquement intégrable dès que $n>1$. Nous illustrerons ces résultats en donnant plusieurs exemples.

Specifying an almost quaternionic structure $Q$ on a 4$n$-manifold $M$ is equivalent to specifying a twistor bundle $Z\left(Q\right)⟶M$. When $Q$ is invariant under a torsion free connection, $Z\left(Q\right)$ can be endowed with an almost complex structure $𝒥$. For $n=1$ Atiyah, Hitchin and Singer [2] have related the integrability of $𝒥$ to the geometry of $(M,Q)$. For $n>1$ Salamon [23, 24] showed that the almost complex structure $𝒥$ on $Z\left(Q\right)$ is always integrable. Recently, Pantilie [21] introduced the concept of a generalized quaternionic Kähler structure $𝒬$ on $M$; defined a generalized twistor space $𝒵\left(𝒬\right)$; and showed that $𝒵\left(𝒬\right)$ comes naturally equiped with a tautological almost generalized complex structure, but leaves open the problem of the integrability. The purpose of this paper is precisely to fill this gap by showing that the almost generalized complex structure on $𝒵\left(𝒬\right)$ is always integrable for $n>1$. We will conclude by giving several examples.

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