Diffusion-orthogonal polynomial systems of maximal weighted degree

Soukhanov, Lev

Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Série 6, Tome 26 (2017) no. 2, pp. 511-518.

Un système de diffusion polynomial est la donnée d’un domaine borné $\Omega \subset {ℝ}^d$ équipé d’une mesure $\mu$ et d’un opérateur différentiel elliptique d’ordre deux $L$, autoadjoint sur $L^2(\Omega ,\mu )$, tels que l’espace de polynômes de degré $\le n$ est invariant par $L$ pour tout $n$. Cette notion est introduite dans [1] et les modèles en dimension $2$ y sont classifiés.

Une conséquence est que la frontière de $\Omega$ est toujours une hypersurface algébrique de degré $\le 2d$. D’après [1], en dimension $2$ et lorsque le degré est maximal (égal à $4$) le symbole $g^{ij}$ de $L$ est une cométrique de courbure constante.

Nous présentons une démonstration indépendante de cette propriété valable en toute dimension.

A diffusion-orthogonal polynomial system is a bounded domain $\Omega$ in ${ℝ}^d$ endowed with the measure $\mu$ and the second-order elliptic differential operator $L$, self adjoint w.r.t $L^2(\Omega ,\mu )$, preserving the space of polynomials of degree $\le n$ for any $n$. This notion was initially defined in [2], and $2$-dimensional models were classified.

It turns out that the boundary of $\Omega$ is always an algebraic hypersurface of degree $\le 2d$. It was pointed out in [2] that in dimension $2$, when the degree is maximal (so, equals $4$), the symbol of $L$ (denoted by $g^{ij}$) is a cometric of constant curvature.

We present the self-contained classification-free proof of this property, and its multidimensional generalisation.

[1] Bakry, Dominique Symmetric diffusions with polynomial eigenvectors (2014) (https://arxiv.org/abs/1403.7468v1)

[2] Bakry, Dominique; Orevkov, Stepan; Zani, Marguerite Orthogonal polynomials and diffusion operators (2014) (https://arxiv.org/abs/1309.5632v2)

[3] Prüfer, Friedbert; Tricerri, Franco; Vanhecke, Lieven Curvature invariants, differential operators and local homogeneity, Trans. Am. Math. Soc., Volume 348 (1996) no. 11, pp. 4643-4652 | DOI