Interpolation inequalities on the sphere: linear vs. nonlinear flows
[Inégalités d’interpolation sur la sphère : flots non-linéaires vs. flots linéaires]
Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Série 6, Tome 26 (2017) no. 2, pp. 351-379.

Cet article est consacré à des inégalités d’interpolation optimales sur la sphère et à leur preuve par des flots. La méthode explique aussi certains résultats de rigidité et permet de prouver l’unicité dans des équations elliptiques semilinéaires associées. Les flots non-linéaires permettent de couvrir tout l’intervalle des exposants entre l’inégalité de Poincaré et l’inégalité de Sobolev, tandis qu’une limitation intrigante (une limite supérieure de l’exposant) apparaît dans la méthode du carré du champ basée sur le flot de la chaleur. Nous étudions cette limitation, décrivons un contre-exemple pour les exposants qui sont au-dessus de la borne, et obtenons des améliorations en-dessous.

This paper is devoted to sharp interpolation inequalities on the sphere and their proof using flows. The method explains some rigidity results and proves uniqueness in related semilinear elliptic equations. Nonlinear flows allow to cover the interval of exponents ranging from Poincaré to Sobolev inequality, while an intriguing limitation (an upper bound on the exponent) appears in the carré du champ method based on the heat flow. We investigate this limitation, describe a counter-example for exponents which are above the bound, and obtain improvements below.

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DOI : https://doi.org/10.5802/afst.1536
Classification : 58J35,  26D10,  35J60
Mots clés : Interpolation ; inégalités fonctionnelles ; flots ; constantes optimales ; équations elliptiques semi-linéaires ; rigidité ; unicité ; méthode du carré du champ ; condition CD(ρ,N) ; équation de la chaleur ; diffusion non-linéaire ; inégalité de trou spectral ; inégalité de Poincaré ; inégalités améliorées
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     author = {Dolbeault, Jean and Esteban, Maria J. and Loss, Michael},
     title = {Interpolation inequalities on the sphere: linear vs. nonlinear flows},
     journal = {Annales de la Facult\'e des sciences de Toulouse : Math\'ematiques},
     pages = {351--379},
     publisher = {Universit\'e Paul Sabatier, Toulouse},
     volume = {Ser. 6, 26},
     number = {2},
     year = {2017},
     doi = {10.5802/afst.1536},
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Dolbeault, Jean; Esteban, Maria J.; Loss, Michael. Interpolation inequalities on the sphere: linear vs. nonlinear flows. Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Série 6, Tome 26 (2017) no. 2, pp. 351-379. doi : 10.5802/afst.1536. http://www.numdam.org/articles/10.5802/afst.1536/

[1] Bakry, Dominique Une suite d’inégalités remarquables pour les opérateurs ultrasphériques, C. R. Acad. Sci., Paris, Volume 318 (1994) no. 2, pp. 161-164

[2] Bakry, Dominique Functional inequalities for Markov semigroups, Probability measures on groups: recent directions and trends (Studies in Mathematics. Tata Institute of Fundamental Research), Volume 18, Tata Inst. Fund. Res., 2006, pp. 91-147

[3] Bakry, Dominique; Émery, Michel Hypercontractivité de semi-groupes de diffusion, C. R. Acad. Sci., Paris, Volume 299 (1984) no. 15, pp. 775-778

[4] Bakry, Dominique; Émery, Michel Diffusions hypercontractives, Séminaire de probabilités, XIX, 1983/84 (Lecture Notes in Math.), Volume 1123, Springer, 1985, pp. 177-206

[5] Bakry, Dominique; Émery, Michel Inégalités de Sobolev pour un semi-groupe symétrique, C. R. Acad. Sci., Paris, Volume 301 (1985), pp. 411-413

[6] Bakry, Dominique; Gentil, Ivan; Ledoux, Michel Analysis and geometry of Markov diffusion operators, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 348, Springer, 2014, xx+552 pages | Article

[7] Bakry, Dominique; Ledoux, Michel Sobolev inequalities and Myers’s diameter theorem for an abstract Markov generator, Duke Math. J., Volume 85 (1996) no. 1, pp. 253-270 | Article

[8] Beckner, William Sharp Sobolev inequalities on the sphere and the Moser–Trudinger inequality, Ann. Math., Volume 138 (1993) no. 1, pp. 213-242 | Article

[9] Bentaleb, Abdellatif Inégalité de Sobolev pour l’opérateur ultrasphérique, C. R. Acad. Sci., Paris, Volume 317 (1993) no. 2, pp. 187-190

[10] Bentaleb, Abdellatif Sur les fonctions extrémales des inégalités de Sobolev des opérateurs de diffusion, Séminaire de Probabilités, XXXVI (Lecture Notes in Math.), Volume 1801, Springer, 2003, pp. 230-250

[11] Bentaleb, Abdellatif; Fahlaoui, Said A family of integral inequalities on the circle § 1 , Proc. Japan Acad., Volume 86 (2010) no. 3, pp. 55-59 | Article

[12] Bianchi, Gabriele; Egnell, Henrik A note on the Sobolev inequality, J. Funct. Anal., Volume 100 (1991) no. 1, pp. 18-24 | Article

[13] Bidaut-Véron, Marie-Françoise; Véron, Laurent Nonlinear elliptic equations on compact Riemannian manifolds and asymptotics of Emden equations, Invent. Math., Volume 106 (1991) no. 3, pp. 489-539 | Article

[14] Demange, Jérôme Improved Gagliardo–Nirenberg–Sobolev inequalities on manifolds with positive curvature, J. Funct. Anal., Volume 254 (2008) no. 3, pp. 593-611 | Article

[15] Dolbeault, Jean; Esteban, Maria J.; Jankowiak, Gaspard The Moser–Trudinger–Onofri inequality, Chin. Ann. Math., Volume 36 (2015) no. 5, pp. 777-802 | Article

[16] Dolbeault, Jean; Esteban, Maria J.; Kowalczyk, Michal; Loss, Michael Sharp Interpolation Inequalities on the Sphere: New Methods and Consequences, Chin. Ann. Math., Volume 34 (2013) no. 1, pp. 99-112 | Article

[17] Dolbeault, Jean; Esteban, Maria J.; Kowalczyk, Michal; Loss, Michael Improved interpolation inequalities on the sphere, Discrete Contin. Dyn. Syst., Volume 7 (2014) no. 4, pp. 695-724 | Article

[18] Dolbeault, Jean; Esteban, Maria J.; Loss, Michael Nonlinear flows and rigidity results on compact manifolds, Journal of Functional Analysis, Volume 267 (2014) no. 5, pp. 1338-1363 | Article

[19] Fontenas, Éric Sur les constantes de Sobolev des variétés riemanniennes compactes et les fonctions extrémales des sphères, Bull. Sci. Math., Volume 121 (1997) no. 2, pp. 71-96

[20] Fontenas, Éric Sur les minorations des constantes de Sobolev et de Sobolev logarithmiques pour les opérateurs de Jacobi et de Laguerre, Séminaire de Probabilités, XXXII (Lecture Notes in Math.), Volume 1686, Springer, 1998, pp. 14-29 https://dx-doi-org.proxy.bu.dauphine.fr/10.1007/BFb0101747 | Article

[21] Ghoussoub, Nassif; Lin, Chang-Shou On the best constant in the Moser–Onofri–Aubin inequality, Commun. Math. Phys., Volume 298 (2010) no. 3, pp. 869-878 | Article

[22] Ghoussoub, Nassif; Moradifam, Amir Functional inequalities: new perspectives and new applications, Mathematical Surveys and Monographs, 187, American Mathematical Society, 2013, xxiv+299 pages

[23] Gui, Changfeng; Moradifam, Amir The sphere covering inequality and its applications (2016) (https://arxiv.org/abs/1605.06481)

[24] Mueller, Carl E.; Weissler, Fred B. Hypercontractivity for the heat semigroup for ultraspherical polynomials and on the n-sphere, J. Funct. Anal., Volume 48 (1982) no. 2, pp. 252-283 | Article