Propriétés de mélange du flot des chambres de Weyl des groupes de Ping-Pong

Thirion, Xavier

Bulletin de la Société Mathématique de France, Volume 137 (2009) no. 3, pp. 387-421.

In this paper, we study the Weyl’s chamber flow associated with a large class of discrete subgroups of a semi-simple real Lie group : the Ping-Pong groups. We prove that this flow is mixing with respect to the Patterson-Sullivan measure ; this measure being infinite in rank $\ge 2$, we precise this mixing property with a precise speed of convergence in the direction of the growth vector of the group.

Dans cet article, nous étudions le flot des chambres de Weyl d’une large classe de sous-groupe discrets d’un groupe de Lie semi-simple réel : les groupes de Ping-Pong. Nous montrons que ce flot est mélangeant relativement à la mesure de Patterson-Sullivan ; celle-ci étant infinie en rang $\ge 2$, nous précisons cette propriété de mélange en explicitant sa vitesse dans le direction du vecteur de croissance du groupe.

Classification: 22E40, 53C35
Mot clés : groupes de Lie, sous-groupes discrets, géométrie en rang supérieur
Keywords: Lie groups, discrete subgroups, higher rank

[1] P. Albuquerque - « Uniqueness of conformal densities and the semiflow of Weyl chambers », C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math. 326 (1998), p. 1105-1110. | MR | Zbl

[2] M. Babillot - « Théorie du renouvellement pour des chaînes semi-markoviennes transientes », Ann. Inst. H. Poincaré Probab. Statist. 24 (1988), p. 507-569. | Numdam | MR | Zbl

[3] M. Babillot & F. Ledrappier - « Lalley's theorem on periodic orbits of hyperbolic flows », Ergodic Theory Dynam. Systems 18 (1998), p. 17-39. | MR | Zbl

[4] M. Babillot & M. Peigné - « Homologie des géodésiques fermées sur des variétés hyperboliques avec bouts cuspidaux », Ann. Sci. École Norm. Sup. 33 (2000), p. 81-120. | Numdam | MR | Zbl

[5] Y. Benoist - « Propriétés asymptotiques des groupes linéaires », Geom. Funct. Anal. 7 (1997), p. 1-47. | MR | Zbl

[6] -, « Propriétés asymptotiques des groupes linéaires. II », in Analysis on homogeneous spaces and representation theory of Lie groups, Okayama-Kyoto (1997), Adv. Stud. Pure Math., vol. 26, Math. Soc. Japan, 2000, p. 33-48. | Zbl

[7] F. Dal'Bo & M. Peigné - « Groupes du ping-pong et géodésiques fermées en courbure $-1$ », Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 46 (1996), p. 755-799. | Numdam | MR | Zbl

[8] -, « Some negatively curved manifolds with cusps, mixing and counting », J. reine angew. Math. 497 (1998), p. 141-169. | MR | Zbl

[9] Y. Guivarc'H - « Produits de matrices aléatoires et applications aux propriétés géométriques des sous-groupes du groupe linéaire », Ergodic Theory Dynam. Systems 10 (1990), p. 483-512. | MR | Zbl

[10] Y. Guivarc'H & J. Hardy - « Théorèmes limites pour une classe de chaînes de Markov et applications aux difféomorphismes d'Anosov », Ann. Inst. H. Poincaré Probab. Statist. 24 (1988), p. 73-98. | EuDML | Numdam | MR | Zbl

[11] J.-F. Quint - « Divergence exponentielle des sous-groupes discrets en rang supérieur », Comment. Math. Helv. 77 (2002), p. 563-608. | MR | Zbl

[12] -, « Mesures de Patterson-Sullivan en rang supérieur », Geom. Funct. Anal. 12 (2002), p. 776-809. | MR | Zbl

[13] -, « Groupes de Schottky et comptage », Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 55 (2005), p. 373-429. | EuDML | Numdam | MR | Zbl

[14] T. Roblin - « Ergodicité et équidistribution en courbure négative », Mém. Soc. Math. Fr. (N.S.) 95 (2003). | Numdam | MR | Zbl

[15] X. Thirion - « Mesures de Patterson des groupes de Ping-Pong » (soumis).