Crible asymptotique et sommes de Kloosterman
Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 137 (2009) no. 1, pp. 1-62.

On montre à l’aide de méthodes de crible, de méthodes issues de la théorie des formes automorphes et de géométrie algébrique ainsi qu’à l’aide de la loi de Sato-Tate verticale que le signe des sommes de Kloosterman Kl (1,1;n) change une infinité de fois pour n parcourant les entiers sans facteur carré ayant au plus 18 facteurs premiers. Ceci améliore un résultat précédent de Fouvry et Michel qui avaient obtenu 23 à la place de 18.

We prove using sieve methods, methods coming from automorphic form theory and algebraic geometry, and Sato-Tate vertical law that the sign of Kloosterman sums Kl (1,1;n) changes infinitely often as n runs through the square-free integers with at most 18 prime factors. This improves on a previous result of Fouvry and Michel, who had obtained 23 instead of 18.

DOI : 10.24033/bsmf.2568
Classification : 11N36, 11L05
Mot clés : crible asymptotique de Bombieri, sommes de Kloosterman, conjecture de Sato-Tate
Keywords: asymptotic Bombieri sieve, Kloosterman sums, Sato-Tate conjecture
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Sivak-Fischler, Jimena. Crible asymptotique et sommes de Kloosterman. Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 137 (2009) no. 1, pp. 1-62. doi : 10.24033/bsmf.2568. http://www.numdam.org/articles/10.24033/bsmf.2568/

[1] H. Davenport - Multiplicative number theory, second éd., Graduate Texts in Math., vol. 74, Springer, 1980. | MR | Zbl

[2] E. Fouvry & P. Michel - « Crible asymptotique et sommes de Kloosterman », in Proceedings of the Session in Analytic Number Theory and Diophantine Equations, Bonner Mathematische Schriften, 360, Universität Bonn Mathematisches Institut, 2003. | MR | Zbl

[3] -, « Sommes de modules de sommes d'exponentielles », Pacific J. Math. 209 (2003), p. 261-288. | MR | Zbl

[4] -, « Sur le changement de signe des sommes de Kloosterman », Ann. of Math. 165 (2007), p. 675-715. | MR | Zbl

[5] H. Iwaniec & E. Kowalski - Analytic number theory, American Mathematical Society Colloquium Publications, vol. 53, Amer. Math. Soc., 2004. | MR | Zbl

[6] N. V. Kuznecov - « The Petersson conjecture for cusp forms of weight zero and the Linnik conjecture. Sums of Kloosterman sums », Mat. Sb. (N.S.) 111 (153) (1980), p. 334-383, 479. | MR | Zbl

[7] J. Sivak-Fischler - « Méthodes de crible appliquées aux sommes de Kloosterman et aux petits écarts entre nombres premiers », Thèse, Université Paris XI, 2005.

[8] -, « Crible étrange et sommes de Kloosterman », Acta Arith. 128 (2007), p. 69-100. | MR | Zbl

[9] G. Tenenbaum - Introduction à la théorie analytique et probabiliste des nombres, second éd., Cours Spécialisés, vol. 1, Soc. Math. France, 1995. | MR | Zbl

[10] A. Weil - « On some exponential sums », Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. A. 34 (1948), p. 204-207. | MR | Zbl

Cité par Sources :