[Resolvent estimates for Schrödinger operator with critical multipolar potential]
We consider an operator of the form: on , where is a potential with a finite number of inverse-square singularities. More precisely, we show the usual high frequency estimate on the truncated resolvent, which is classical in nontrapping geometries, and implies the smoothing effect on the corresponding Schrödinger equation. The proof relies on the use of a semiclassical microlocal defect measure. We also show, in the same framework, Strichartz estimates for solutions of the Schrödinger equations.
On étudie un opérateur de la forme sur , où est un potentiel admettant plusieurs pôles en . Plus précisément, on démontre l’estimation de résolvante tronquée à hautes fréquences, classique dans les cas non-captifs, et qui implique l’effet régularisant standard pour l’équation de Schrödinger correspondante. La preuve est basée sur l’introduction d’une mesure de défaut micro-locale semi-classique. On démontre également, dans le même contexte, des inégalités de Strichartz pour l’équation de Schrödinger.
Mot clés : Équation de schrödinger, potentiel singulier, inégalité de résolvante, analyse micro-locale, mesure de défaut
Keywords: schrödinger equation, singular potential, resolvent inequality, microlocal analysis, defect measure
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TY - JOUR AU - Duyckaerts, Thomas TI - Inégalités de résolvante pour l'opérateur de Schrödinger avec potentiel multipolaire critique JO - Bulletin de la Société Mathématique de France PY - 2006 SP - 201 EP - 239 VL - 134 IS - 2 PB - Société mathématique de France UR - http://www.numdam.org/articles/10.24033/bsmf.2506/ DO - 10.24033/bsmf.2506 LA - fr ID - BSMF_2006__134_2_201_0 ER -
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Duyckaerts, Thomas. Inégalités de résolvante pour l'opérateur de Schrödinger avec potentiel multipolaire critique. Bulletin de la Société Mathématique de France, Volume 134 (2006) no. 2, pp. 201-239. doi : 10.24033/bsmf.2506. http://www.numdam.org/articles/10.24033/bsmf.2506/
[1] « Decay and regularity for the Schrödinger equation », J. Anal. Math. 58 (1992), p. 25-37, Festschrift on the occasion of the 70th birthday of Shmuel Agmon. | MR | Zbl
& -[2] « On the many-center problem for inverse square potentials », Chem. Phys. Lett. 107 (1984), no. 4-5, p. 409-412. | MR
-[3] « Semi-classical estimates for the resolvent in nontrapping geometries », Int. Math. Res. Not. (2002), no. 5, p. 221-241. | MR | Zbl
-[4] « On nonlinear Schrödinger equations in exterior domains », Ann. Inst. H. Poincaré Anal. Non Linéaire 21 (2004), no. 3, p. 295-318. | Numdam | MR | Zbl
, & -[5] « Strichartz estimates for the wave and Schrödinger equations with the inverse-square potential », J. Funct. Anal. 203 (2003), no. 2, p. 519-549. | MR | Zbl
, , & -[6] -, « Strichartz estimates for the wave and Schrödinger equations with potentials of critical decay », Indiana Univ. Math. J. 53 (2004), no. 6, p. 1665-1680. | MR | Zbl
[7] « Maximal functions associated to filtrations », J. Funct. Anal. 179 (2001), no. 2, p. 409-425. | MR | Zbl
& -[8] « Local smoothing properties of Schrödinger equations », Indiana Univ. Math. J. 38 (1989), no. 3, p. 791-810. | MR | Zbl
& -[9] « On the wave equation with a large rough potential », Prépublication, 2003. | Zbl
& -[10] « A singular critical potential for the schrödinger operator », Canad. Math. Bull. (2005), A paraître.
-[11] « Équation de la chaleur et mesures semi-classiques », Thèse, Université de Paris-Sud, 1995.
-[12] « Principe d'absorption limite pour des opérateurs de Schrödinger à longue portée », C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math. 306 (1988), no. 3, p. 121-123. | MR | Zbl
& -[13] « Microlocal defect measures », Comm. Partial Differential Equations 16 (1991), no. 11, p. 1761-1794. | MR | Zbl
-[14] « The global cauchy problem for the nonlinear schrödinger equation », Ann. Inst. H. Poincaré Anal. Non Linéaire 2 (1985), p. 309-327. | Numdam | MR | Zbl
& -[15] Thèmes d'analyse pour l'agrégation. Calcul différentiel, Ellipses, 1998.
& -[16] Scattering theory, 2nd éd., Pure and Applied Mathematics, vol. 26, Academic Press Inc., Boston, MA, 1989, With appendices by Cathleen S. Morawetz and Georg Schmidt. | MR | Zbl
& -[17] « Sur les mesures de Wigner », Rev. Mat. Iberoamericana 9 (1993), no. 3, p. 553-618. | MR | Zbl
& -[18] « The decay of solutions of the exterior initial-boundary value problem for the wave equation », Comm. Pure Appl. Math. 14 (1961), p. 561-568. | MR | Zbl
-[19] -, « Decay for solutions of the exterior problem for the wave equation », Comm. Pure Appl. Math. 28 (1975), p. 229-264. | MR | Zbl
[20] « Absence of singular continuous spectrum for certain selfadjoint operators », Comm. Math. Phys. 78 (1980/81), no. 3, p. 391-408. | MR | Zbl
-[21] « Decay estimate for the wave equation with a small potential », Prépublication, 2003. | Zbl
-[22] « Dispersive estimate for the wave equation with the inverse-square potential », Discrete Contin. Dyn. Syst. 9 (2003), no. 6, p. 1387-1400. | MR | Zbl
, & -[23] Methods of modern mathematical physics. II. Fourier analysis, self-adjointness, Academic Press [Harcourt Brace Jovanovich Publishers], New York, 1975. | MR | Zbl
& -[24] -, Methods of modern mathematical physics. I, 2nd éd., Academic Press Inc. [Harcourt Brace Jovanovich Publishers], New York, 1980, Functional analysis. | MR | Zbl
[25] « On local regularity of Schrödinger equations », Internat. Math. Res. Notices (1993), no. 1, p. 13-27. | MR | Zbl
& -[26] -, « Local regularity of solutions to wave equations with time-dependent potentials », Duke Math. J. 76 (1994), no. 3, p. 913-940. | MR | Zbl
[27] « Convergence properties for the Schrödinger equation », Rend. Sem. Mat. Fis. Milano 57 (1987), p. 293-297 (1989). | MR | Zbl
-[28] « Strichartz estimates for a Schrödinger operator with nonsmooth coefficients », Comm. Partial Differential Equations 27 (2002), no. 7-8, p. 1337-1372. | MR | Zbl
& -[29] « Semiclassical estimates in asymptotically Euclidean scattering », Comm. Math. Phys. 212 (2000), no. 1, p. 205-217. | MR | Zbl
& -[30] « The hardy inequality and the asymptotic behaviour of the heat equation with an inverse-square potential », J. Funct. Anal. 173 (2000), no. 1, p. 103-153. | MR | Zbl
& -[31] « Schrödinger equations : pointwise convergence to the initial data », Proc. Amer. Math. Soc. 102 (1988), no. 4, p. 874-878. | MR | Zbl
-Cited by Sources: