Compactifications des espaces de configuration dans les schémas de Hilbert

Evain, Laurent

Bulletin de la Société Mathématique de France, Volume 133 (2005) no. 4, pp. 497-539.

Let $F(X,n)=X^n-\Delta$ be the complement of the union $\Delta$ of the diagonals in $X^n$, and let $U$ be a quotient (possibly trivial) of $F(X,n)$ by a subgroup of the symmetric group ${𝔖}_n$. In this work, methods to compactify $U$ inside products of Hilbert Schemes are introduced. Our approach generalizes and unifies previous classical constructions by Schubert-Semple, LeBarz-Keel, Kleiman and Cheah. A more detailed geometrical study is done when $n\le 3$. This includes in particular a complete classification, the determination of the smooth models and a description of the quotient morphisms with respect to the natural actions.

Soient $F(X,n)=X^n-\Delta$ le complémentaire de l’union $\Delta$ des diagonales dans $X^n$ et $U$ un quotient (éventuellement trivial) de $F(X,n)$ par un sous-groupe du groupe symétrique ${𝔖}_n$. Ce travail présente des procédés de compactification de $U$ dans des produits de schémas de Hilbert. Notre démarche généralise et unifie des constructions classiques dues à Schubert-Semple, LeBarz-Keel, Kleiman et Cheah. Une étude géométrique plus détaillée est faite pour les cas $n\le 3$. Cette étude inclut notamment une classification complète, la détermination des compactifications lisses, et la description des morphismes quotients par les actions naturelles.

Classification: 14C05
Mot clés : compactification, espace de configuration, schéma de Hilbert
Keywords: compactification, configuration space, Hilbert scheme

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[2] A. Collino & W. Fulton - « Intersection rings of spaces of triangles », Mém. Soc. Math. France 38 (1989), p. 75-117, Colloque en l'honneur de Pierre Samuel. | Numdam | MR | Zbl

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[6] L. Evain - « Collisions de gros points sur une surface », en préparation.

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[16] J. Semple - « The triangle as a geometric variable », Mathematika 1 (1954), p. 80-88. | MR | Zbl

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[18] C. Walter - « Collisions of three fat points on an algebraic surface », Prépublication 412, Université de Nice, 1995.