Compactifications des espaces de configuration dans les schémas de Hilbert
Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 133 (2005) no. 4, pp. 497-539.

Soient F(X,n)=X n -Δ le complémentaire de l’union Δ des diagonales dans X n et U un quotient (éventuellement trivial) de F(X,n) par un sous-groupe du groupe symétrique 𝔖 n . Ce travail présente des procédés de compactification de U dans des produits de schémas de Hilbert. Notre démarche généralise et unifie des constructions classiques dues à Schubert-Semple, LeBarz-Keel, Kleiman et Cheah. Une étude géométrique plus détaillée est faite pour les cas n3. Cette étude inclut notamment une classification complète, la détermination des compactifications lisses, et la description des morphismes quotients par les actions naturelles.

Let F(X,n)=X n -Δ be the complement of the union Δ of the diagonals in X n , and let U be a quotient (possibly trivial) of F(X,n) by a subgroup of the symmetric group 𝔖 n . In this work, methods to compactify U inside products of Hilbert Schemes are introduced. Our approach generalizes and unifies previous classical constructions by Schubert-Semple, LeBarz-Keel, Kleiman and Cheah. A more detailed geometrical study is done when n3. This includes in particular a complete classification, the determination of the smooth models and a description of the quotient morphisms with respect to the natural actions.

DOI : 10.24033/bsmf.2495
Classification : 14C05
Mot clés : compactification, espace de configuration, schéma de Hilbert
Keywords: compactification, configuration space, Hilbert scheme
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Evain, Laurent. Compactifications des espaces de configuration dans les schémas de Hilbert. Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 133 (2005) no. 4, pp. 497-539. doi : 10.24033/bsmf.2495. http://www.numdam.org/articles/10.24033/bsmf.2495/

[1] J. Cheah - « Cellular decompositions for nested Hilbert schemes of points », Pacific J. Math. 183 (1998), p. 39-90. | MR | Zbl

[2] A. Collino & W. Fulton - « Intersection rings of spaces of triangles », Mém. Soc. Math. France 38 (1989), p. 75-117, Colloque en l'honneur de Pierre Samuel. | Numdam | MR | Zbl

[3] D. Dias & P. Le Barz - Configuration spaces over Hilbert schemes and applications, vol. 1647, Springer-Verlag, Berlin, 1996. | MR | Zbl

[4] I. Dolgachev & D. Ortland - Point sets in projective spaces and theta functions, vol. 165, Société Mathématique de France, 1988. | Numdam | MR | Zbl

[5] D. Eisenbud - Commutative algebra, vol. 150, Springer-Verlag, 1995. | MR | Zbl

[6] L. Evain - « Collisions de gros points sur une surface », en préparation.

[7] -, « Collisions de trois gros points sur une surface algébrique », Thèse, Nice, 1997.

[8] W. Fulton & R. Macpherson - « A compactification of configuration spaces », 139 (1994), p. 183-225. | MR | Zbl

[9] B. Harbourne - « Iterated blow-ups and moduli for rational surfaces », Algebraic geometry (Sundance, UT, 1986), vol. 1311, Springer, Berlin, 1988, p. 101-117. | MR | Zbl

[10] S. Keel - « Functorial construction of Le Barz's triangle space with applications », 335 (1993), p. 213-229. | MR | Zbl

[11] S. Kleiman - « Multiple-point formulas. I. Iteration », 147 (1981), p. 13-49. | MR | Zbl

[12] P. Le Barz - « La variété des triplets complets », 57 (1988), p. 925-946. | MR | Zbl

[13] Z. Ran - « Curvilinear enumerative geometry », 155 (1985), p. 81-101. | MR | Zbl

[14] J. Roberts & R. Speiser - « Enumerative geometry of triangles. I », Comm. Algebra 12 (1984), p. 1213-1255. | MR | Zbl

[15] H. Schubert - « Anzahlgeometrische Behandlung des Dreieckes », 17 (1880). | JFM

[16] J. Semple - « The triangle as a geometric variable », Mathematika 1 (1954), p. 80-88. | MR | Zbl

[17] J. Tyrrell - « On the enumerative geometry of triangles », Mathematika 6 (1959), p. 158-164. | MR | Zbl

[18] C. Walter - « Collisions of three fat points on an algebraic surface », Prépublication 412, Université de Nice, 1995.

Cité par Sources :