Prolongements analytiques d'une classe de fonctions zêta des hauteurs et applications
[Analytic continuation of a class of zeta functions of heights]
Bulletin de la Société Mathématique de France, Volume 133 (2005) no. 2, pp. 297-329.

In the first part of this paper, we prove that a large class of zeta functions associated to the projective space n (), (n1), have meromorphic continuations to the whole complex plane satisfying suitable properties and give some arithmetical consequences. In the second part, we prove that the height zeta functions associated to metrized line bundles on the projective plan blown up at a point, have meromorphic continuations to the whole complex plane with moderate growth and give a set of candidate poles. As an application, we give a new proof of Manin’s conjecture in this case, we calculate the second term and improve its error term.

Nous montrons dans la première partie l'existence d'un prolongement méromorphe à tout le plan complexe et explicitons les propriétés et quelques conséquences, d’une large classe de séries zêta des hauteurs associées à l’espace projectif n () (n1). Nous montrons dans la deuxième partie que, dans le cas du plan projectif éclaté en un point sur , les fonctions zêta de hauteur associées aux fibrés en droite dont les classes sont à l’intérieur du cône des diviseurs effectifs possèdent des prolongements méromorphes à tout le plan complexe . Comme conséquence, ce résultat permet de redémontrer la conjecture de Manin dans ce cas mais avec un meilleur terme d’erreur que ceux connus. Il permet surtout de déterminer, le second terme en logB apparaissant dans la conjecture de Manin.

DOI: 10.24033/bsmf.2488
Classification: 14G05,  14G10,  14G40,  11M41
Keywords: height zeta function, rational points, line bundle, counting function, meromorphic continuation, Manin's conjecture
@article{BSMF_2005__133_2_297_0,
     author = {Essouabri, D.},
     title = {Prolongements analytiques d'une classe de fonctions z\^eta des hauteurs et applications},
     journal = {Bulletin de la Soci\'et\'e Math\'ematique de France},
     pages = {297--329},
     publisher = {Soci\'et\'e math\'ematique de France},
     volume = {133},
     number = {2},
     year = {2005},
     doi = {10.24033/bsmf.2488},
     zbl = {1081.14031},
     mrnumber = {2172269},
     language = {fr},
     url = {http://www.numdam.org/articles/10.24033/bsmf.2488/}
}
TY  - JOUR
AU  - Essouabri, D.
TI  - Prolongements analytiques d'une classe de fonctions zêta des hauteurs et applications
JO  - Bulletin de la Société Mathématique de France
PY  - 2005
DA  - 2005///
SP  - 297
EP  - 329
VL  - 133
IS  - 2
PB  - Société mathématique de France
UR  - http://www.numdam.org/articles/10.24033/bsmf.2488/
UR  - https://zbmath.org/?q=an%3A1081.14031
UR  - https://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=2172269
UR  - https://doi.org/10.24033/bsmf.2488
DO  - 10.24033/bsmf.2488
LA  - fr
ID  - BSMF_2005__133_2_297_0
ER  - 
%0 Journal Article
%A Essouabri, D.
%T Prolongements analytiques d'une classe de fonctions zêta des hauteurs et applications
%J Bulletin de la Société Mathématique de France
%D 2005
%P 297-329
%V 133
%N 2
%I Société mathématique de France
%U https://doi.org/10.24033/bsmf.2488
%R 10.24033/bsmf.2488
%G fr
%F BSMF_2005__133_2_297_0
Essouabri, D. Prolongements analytiques d'une classe de fonctions zêta des hauteurs et applications. Bulletin de la Société Mathématique de France, Volume 133 (2005) no. 2, pp. 297-329. doi : 10.24033/bsmf.2488. http://www.numdam.org/articles/10.24033/bsmf.2488/

[1] V. Batyrev & Y. Manin - « Sur le nombre des points rationnels de hauteur bornée des variétés algébriques », 286 (1990), p. 27-43. | MR | Zbl

[2] V. Batyrev & Y. Tschinkel - « Rational points of bounded height on compactifications of anisotropic tori », 12 (1995), p. 591-635. | MR | Zbl

[3] -, « Manin's conjecture for Toric variety », J. Algebraic Geom. 7 (1998), no. 1, p. 15-53. | MR | Zbl

[4] R. De La Bretèche - « Compter des points d'une variété torique », 87 (2001), no. 2, p. 315-331. | MR | Zbl

[5] A. Chambert-Loir & Y. Tschinkel - « Points of bounded height on equivariant compactifications of vector groups, I », 124 (2000), no. 1, p. 65-93. | MR | Zbl

[6] D. Essouabri - « Singularités des séries de Dirichlet associées à des polynômes de plusieurs variables et application à la théorie analytique des nombres », 47 (1997), no. 2, p. 429-484. | Numdam | MR | Zbl

[7] J. Franke, Y. Manin & Y. Tschinkel - « Rational points of bounded height on Fano varieties », 95 (1989), p. 421-435. | MR | Zbl

[8] Hardy & Wright - The theory of numbers, 4e éd., Clarendon Press, Oxford, 1960. | Zbl

[9] E. Landau - « Über einen Satz von Tschebeyschef », 61 (1905), p. 527-550. | JFM

[10] -, « Über die Anzahl der Gitterpunkte in gewiss en Bereichen (Zweite Abhandlung) », Kgl. Ges. d. Wiss. Nachrichten. Math. Phys. Klasse. (Göttingen) 2 (1915), p. 209-243. | JFM

[11] B. Lichtin - « Geometric features of lattice point problems », Singularity theory (Trieste, 1991), World Sci. Publishing, River Edge, NJ, 1995, p. 370-443. | MR | Zbl

[12] K. Mahler - « Über einer Satz von Mellin », 100 (1928), p. 384-398. | JFM | MR

[13] E. Peyre - « Étude asymptotique des points de hauteur bornée », École d'été sur la géométrie des variétés toriques, Grenoble.

[14] -, « Hauteurs et mesures de Tamagawa sur les variétés de Fano », 79 (1995), p. 101-218. | MR | Zbl

[15] S. Schanuel - « Heights in number fields », 107 (1979), p. 433-449. | Numdam | MR | Zbl

[16] J.-P. Serre - Lectures on the Mordell-Weil theorem, 2e éd., Freidr. Vieweg & Sohn, Braunschweig/Wiesbaden, 1990. | MR | Zbl

[17] G. Tenenbaum - Introduction à la théorie analytique et probabiliste des nombres, Cours Spécialisés, vol. 1, Société Mathématique de France, Paris, 1995. | MR | Zbl

Cited by Sources: