Locally analytic vectors of unitary principal series of  GL 2 ( p )
[Vecteurs localement analytiques des séries principales de GL 2 ( p )]
Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure, Série 4, Tome 45 (2012) no. 1, pp. 167-190.

La correspondance de Langlands locale p-adique pour GL 2 ( p ) associe à toute représentation irréductible p-adique V de dimension 2 de G p une représentation admissible unitaire Π(V) de GL 2 ( p ). Les séries principales unitaires de GL 2 ( p ) sont les Π(V) correspondant aux représentations triangulines. Dans le présent article, en utilisant la machinerie de Colmez, on détermine l’espace des vecteurs localement analytiques Π(V) an pour toute série principale unitaire non-exceptionnelle Π(V) de GL 2 ( p ), et on démontre ainsi une conjecture d’Emerton.

The p-adic local Langlands correspondence for  GL 2 ( p ) attaches to any 2-dimensional irreducible p-adic representation V of G p an admissible unitary representation Π(V) of  GL 2 ( p ). The unitary principal series of  GL 2 ( p ) are those Π(V) corresponding to trianguline representations. In this article, for p>2, using the machinery of Colmez, we determine the space of locally analytic vectors Π(V) an for all non-exceptional unitary principal series Π(V) of  GL 2 ( p ) by proving a conjecture of Emerton.

DOI : 10.24033/asens.2163
Classification : 11F70, 11F80, 11F85, 22E35, 22E50
Keywords: $p$-adic local Langlands correspondence, $(\varphi ,\gamma )$-modules, trianguline representations, unitary principal series, locally analytic vectors
Mot clés : correspondance de Langlands locale $p$-adique, $(\varphi ,\gamma )$-modules, repréresentations triangulines, séries principales unitaires, vecteurs localement analytiques
@article{ASENS_2012_4_45_1_167_0,
     author = {Liu, Ruochuan and Xie, Bingyong and Zhang, Yuancao},
     title = {Locally analytic vectors of unitary principal series of~${\mathrm {GL}}_2({\mathbb {Q}}_p)$},
     journal = {Annales scientifiques de l'\'Ecole Normale Sup\'erieure},
     pages = {167--190},
     publisher = {Soci\'et\'e math\'ematique de France},
     volume = {Ser. 4, 45},
     number = {1},
     year = {2012},
     doi = {10.24033/asens.2163},
     mrnumber = {2961790},
     language = {en},
     url = {http://www.numdam.org/articles/10.24033/asens.2163/}
}
TY  - JOUR
AU  - Liu, Ruochuan
AU  - Xie, Bingyong
AU  - Zhang, Yuancao
TI  - Locally analytic vectors of unitary principal series of ${\mathrm {GL}}_2({\mathbb {Q}}_p)$
JO  - Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure
PY  - 2012
SP  - 167
EP  - 190
VL  - 45
IS  - 1
PB  - Société mathématique de France
UR  - http://www.numdam.org/articles/10.24033/asens.2163/
DO  - 10.24033/asens.2163
LA  - en
ID  - ASENS_2012_4_45_1_167_0
ER  - 
%0 Journal Article
%A Liu, Ruochuan
%A Xie, Bingyong
%A Zhang, Yuancao
%T Locally analytic vectors of unitary principal series of ${\mathrm {GL}}_2({\mathbb {Q}}_p)$
%J Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure
%D 2012
%P 167-190
%V 45
%N 1
%I Société mathématique de France
%U http://www.numdam.org/articles/10.24033/asens.2163/
%R 10.24033/asens.2163
%G en
%F ASENS_2012_4_45_1_167_0
Liu, Ruochuan; Xie, Bingyong; Zhang, Yuancao. Locally analytic vectors of unitary principal series of ${\mathrm {GL}}_2({\mathbb {Q}}_p)$. Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure, Série 4, Tome 45 (2012) no. 1, pp. 167-190. doi : 10.24033/asens.2163. http://www.numdam.org/articles/10.24033/asens.2163/

[1] L. Berger, Représentations p-adiques et équations différentielles, Invent. Math. 148 (2002), 219-284. | MR | Zbl

[2] L. Berger, Équations différentielles p-adiques et (φ,N)-modules filtrés, Astérisque 319 (2008), 13-38. | Numdam | Zbl

[3] L. Berger & C. Breuil, Sur quelques représentations potentiellement cristallines de GL 2 (𝐐 p ), Astérisque 330 (2010), 155-211. | Numdam | Zbl

[4] C. Breuil, Invariant et série spéciale p-adique, Ann. Sci. École Norm. Sup. 37 (2004), 559-610. | EuDML | Zbl

[5] C. Breuil, Série spéciale p-adique et cohomologie étale complétée, Astérisque 331 (2010), 65-115. | Zbl

[6] F. Cherbonnier & P. Colmez, Représentations p-adiques surconvergentes, Invent. Math. 133 (1998), 581-611. | Zbl

[7] P. Colmez, Représentations triangulines de dimension 2, Astérisque 319 (2008), 213-258. | Numdam | Zbl

[8] P. Colmez, Fonctions d’une variable p-adique, Astérisque 330 (2010), 13-59. | Numdam | Zbl

[9] P. Colmez, La série principale unitaire de GL 2 (𝐐 p ), Astérisque 330 (2010), 213-262. | Numdam | Zbl

[10] P. Colmez, La série principale unitaire de GL 2 (𝐐 p ): vecteurs localement analytiques, preprint, 2010.

[11] P. Colmez, (φ,Γ)-modules et représentations du mirabolique de GL 2 (𝐐 p ), Astérisque 330 (2010), 61-153. | Numdam | Zbl

[12] P. Colmez, Représentations de GL 2 (𝐐 p ) et (φ,Γ)-modules, Astérisque 330 (2010), 281-509. | Numdam | Zbl

[13] M. Emerton, A local-global compatibility conjecture in the p-adic Langlands programme for GL 2/ , Pure Appl. Math. Q. 2 (2006), 279-393. | MR | Zbl

[14] J.-M. Fontaine, Représentations p-adiques des corps locaux. I, in The Grothendieck Festschrift, Vol. II, Progr. Math. 87, Birkhäuser, 1990, 249-309. | MR | Zbl

[15] K. S. Kedlaya, Slope filtrations for relative Frobenius, Astérisque 319 (2008), 259-301. | Numdam | MR | Zbl

[16] R. Liu, Locally analytic vectors of some crystabelian representations of GL 2 ( p ), Compositio math. 148 (2012), 28-64. | MR | Zbl

[17] V. Paškūnas, On some crystalline representations of GL 2 ( p ), Algebra Number Theory 3 (2009), 411-421. | MR | Zbl

[18] B. Perrin-Riou, Théorie d’Iwasawa des représentations p-adiques semi-stables, Mém. Soc. Math. Fr. (N.S.) 84 (2001). | Numdam | Zbl

[19] P. Schneider, Nonarchimedean functional analysis, Springer Monographs in Math., Springer, 2002. | MR | Zbl

[20] P. Schneider & J. Teitelbaum, U(𝔤)-finite locally analytic representations, Represent. Theory 5 (2001), 111-128. | MR | Zbl

[21] P. Schneider & J. Teitelbaum, Locally analytic distributions and p-adic representation theory, with applications to GL 2 , J. Amer. Math. Soc. 15 (2002), 443-468. | MR | Zbl

[22] P. Schneider & J. Teitelbaum, Algebras of p-adic distributions and admissible representations, Invent. Math. 153 (2003), 145-196. | MR | Zbl

Cité par Sources :