Let be a ring. In two previous articles [12, 14] we studied the homotopy category of projective -modules. We produced a set of generators for this category, proved that the category is -compactly generated for any ring , and showed that it need not always be compactly generated, but is for sufficiently nice . We furthermore analyzed the inclusion and the orthogonal subcategory . And we even showed that the inclusion has a right adjoint; this forces some natural map to be an equivalence . In this article we produce a set of cogenerators for . More accurately, this set of cogenerators naturally lies in the equivalent ; it can be used to give yet another proof of the fact that the inclusion has a right adjoint. But by now several proofs of this fact already exist.
Soit un anneau. Dans deux articles antérieurs [12, 14], on a étudié la catégorie d’homotopie des -modules projectifs. On a construit un ensemble de générateurs pour cette catégorie et on a démontré que la catégorie est compactement générée de niveau pour chaque anneau , mais qu’elle n’est pas toujours compactement générée. Toutefois, pour un anneau suffisamment raisonnable, la catégorie est compactement générée. On a étudié l’inclusion et la sous-catégorie orthogonale . On a même montré que l’inclusion admet un adjoint à droite ; il s’ensuit qu’une certaine application naturelle est une équivalence. Dans le présent article, on produit un ensemble de cogénérateurs pour . Plus précisément, cet ensemble de cogénérateurs appartient naturellement à la catégorie équivalente ; on peut l’utiliser pour obtenir une nouvelle démonstration du fait que l’inclusion admet un adjoint à droite. Mais il y a déjà plusieurs autres démonstrations de ce fait.
Keywords: triangulated categories, generators, cogenerators, flat modules, projective modules
Mot clés : catégories triangulées, générateurs, cogénérateurs, modules plats, modules projectifs
@article{ASENS_2011_4_44_4_607_0, author = {Neeman, Amnon}, title = {Explicit cogenerators for the homotopy category of projective modules over a ring}, journal = {Annales scientifiques de l'\'Ecole Normale Sup\'erieure}, pages = {607--629}, publisher = {Soci\'et\'e math\'ematique de France}, volume = {Ser. 4, 44}, number = {4}, year = {2011}, doi = {10.24033/asens.2151}, mrnumber = {2919978}, zbl = {1258.16013}, language = {en}, url = {http://www.numdam.org/articles/10.24033/asens.2151/} }
TY - JOUR AU - Neeman, Amnon TI - Explicit cogenerators for the homotopy category of projective modules over a ring JO - Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure PY - 2011 SP - 607 EP - 629 VL - 44 IS - 4 PB - Société mathématique de France UR - http://www.numdam.org/articles/10.24033/asens.2151/ DO - 10.24033/asens.2151 LA - en ID - ASENS_2011_4_44_4_607_0 ER -
%0 Journal Article %A Neeman, Amnon %T Explicit cogenerators for the homotopy category of projective modules over a ring %J Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure %D 2011 %P 607-629 %V 44 %N 4 %I Société mathématique de France %U http://www.numdam.org/articles/10.24033/asens.2151/ %R 10.24033/asens.2151 %G en %F ASENS_2011_4_44_4_607_0
Neeman, Amnon. Explicit cogenerators for the homotopy category of projective modules over a ring. Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure, Serie 4, Volume 44 (2011) no. 4, pp. 607-629. doi : 10.24033/asens.2151. http://www.numdam.org/articles/10.24033/asens.2151/
[1] Cotorsion pairs in , to appear in Rocky Mountain J. of Math. | MR | Zbl
, , , & ,[2] Cohomology theories, Ann. of Math. 75 (1962), 467-484. | MR | Zbl
,[3] Flat covers of complexes, J. Algebra 210 (1998), 86-102. | MR | Zbl
& ,[4] Acyclicity versus total acyclicity for complexes over Noetherian rings, Doc. Math. 11 (2006), 207-240. | MR | Zbl
& ,[5] The homotopy category of complexes of projective modules, Adv. Math. 193 (2005), 223-232. | MR | Zbl
,[6] A Brown representability theorem via coherent functors, Topology 41 (2002), 853-861. | MR | Zbl
,[7] The stable derived category of a Noetherian scheme, Compos. Math. 141 (2005), 1128-1162. | MR | Zbl
,[8] Approximations and adjoints in homotopy categories, preprint arXiv:1005.0209. | MR
,[9] The mock homotopy category of projectives and Grothendieck duality, Thèse, Australian National Univ., 2008.
,[10] Brown representability for the dual, Invent. Math. 133 (1998), 97-105. | MR | Zbl
,[11] Triangulated categories, Annals of Math. Studies 148, Princeton Univ. Press, 2001. | MR | Zbl
,[12] The homotopy category of flat modules, and Grothendieck duality, Invent. Math. 174 (2008), 255-308. | MR | Zbl
,[13] Brown representability follows from Rosický's theorem, J. Topol. 2 (2009), 262-276. | MR | Zbl
,[14] Some adjoints in homotopy categories, Ann. of Math. 171 (2010), 2143-2155. | MR | Zbl
,[15] Generalized Brown representability in homotopy categories, Theory Appl. Categ. 14 (2005), 451-479. | MR | Zbl
,[16] On exact categories and applications to triangulated adjoints and model structures, preprint arXiv:1005.3248. | Zbl
& ,Cited by Sources: