The local lifting problem for actions of finite groups on curves
[Problème local de relèvement de l'action d'un groupe fini sur une courbe]
Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure, Série 4, Tome 44 (2011) no. 4, pp. 537-605.

Soit k un corps algébriquement clos de caractéristique p>0. Nous étudions les obstructions au relèvement en caractéristique 0 d’une action fidèle et continue φ d’un groupe fini G sur k[[t]]. Le théorème de Katz-Gabber associe à φ une action du groupe G sur une courbe projective Y lisse sur k. La KGB-obstruction de φ est dite nulle si G agit sur une courbe projective lisse X de caractéristique 0 avec égalité des genres de X/H et Y/H pour tout sous-groupe HG. Nous déterminons les groupes G pour lesquels la KGB-obstruction s’annule pour toute action φ. Nous considérons également des situations analogues pour lesquelles il suffit d’annuler l’obstruction de Bertin à relever une action φ ou toutes actions φ suffisamment ramifiées. Ces résultats renforcent les convictions en faveur de la conjecture de Oort généralisée aux relèvements d’une action fidèle sur une courbe projective lisse ([8, Conj. 1.2).

Let k be an algebraically closed field of characteristic p>0. We study obstructions to lifting to characteristic 0 the faithful continuous action φ of a finite group G on k[[t]]. To each such φ a theorem of Katz and Gabber associates an action of G on a smooth projective curve Y over k. We say that the KGB obstruction of φ vanishes if G acts on a smooth projective curve X in characteristic 0 in such a way that X/H and Y/H have the same genus for all subgroups HG. We determine for which G the KGB obstruction of every φ vanishes. We also consider analogous problems in which one requires only that an obstruction to lifting φ due to Bertin vanishes for some φ, or for all sufficiently ramified φ. These results provide evidence for the strengthening of Oort’s lifting conjecture which is discussed in [8, Conj. 1.2].

DOI : 10.24033/asens.2150
Classification : 12F10, 14H37, 20B25, 13B05, 11S15, 14H30
Keywords: Galois groups, curves, automorphisms, characteristic $p$, lifting, Oort conjecture
Mot clés : groupes de Galois, courbes, automorphismes, caractéristique $p$, relèvement, conjecture de Oort
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