[Height of toric subschemes and Legendre–Fenchel duality]
We announce a formula for the height of a complete toric variety defined over a number field. The exact expression rests on tools from convex analysis and in particular, on the Legendre–Fenchel dual of the logarithm of the local norms of a natural section of the relevant metrized line bundle. We apply this formula to the computation of the height of projective toric curves and of toric bundles.
Nous présentons dans cette Note une formule pour la hauteur d'une variété torique complète définie sur un corps de nombres. L'expression exacte repose sur des outils d'analyse convexe et en particulier, sur le dual de Legendre–Fenchel du logarithme des normes locales d'une section naturelle du fibré en droites métrisé correspondant. Nous appliquons cette formule au calcul de la hauteur des courbes toriques projectives et des fibrés toriques.
Accepted:
Published online:
@article{CRMATH_2009__347_11-12_589_0,
author = {Burgos Gil, Jos\'e Ignacio and Philippon, Patrice and Sombra, Mart{\'\i}n},
title = {Hauteur des sous-sch\'emas toriques et dualit\'e de {Legendre{\textendash}Fenchel}},
journal = {Comptes Rendus. Math\'ematique},
pages = {589--594},
publisher = {Elsevier},
volume = {347},
number = {11-12},
year = {2009},
doi = {10.1016/j.crma.2009.04.002},
language = {fr},
url = {http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2009.04.002/}
}
TY - JOUR AU - Burgos Gil, José Ignacio AU - Philippon, Patrice AU - Sombra, Martín TI - Hauteur des sous-schémas toriques et dualité de Legendre–Fenchel JO - Comptes Rendus. Mathématique PY - 2009 SP - 589 EP - 594 VL - 347 IS - 11-12 PB - Elsevier UR - http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2009.04.002/ DO - 10.1016/j.crma.2009.04.002 LA - fr ID - CRMATH_2009__347_11-12_589_0 ER -
%0 Journal Article %A Burgos Gil, José Ignacio %A Philippon, Patrice %A Sombra, Martín %T Hauteur des sous-schémas toriques et dualité de Legendre–Fenchel %J Comptes Rendus. Mathématique %D 2009 %P 589-594 %V 347 %N 11-12 %I Elsevier %U http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2009.04.002/ %R 10.1016/j.crma.2009.04.002 %G fr %F CRMATH_2009__347_11-12_589_0
Burgos Gil, José Ignacio; Philippon, Patrice; Sombra, Martín. Hauteur des sous-schémas toriques et dualité de Legendre–Fenchel. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 347 (2009) no. 11-12, pp. 589-594. doi : 10.1016/j.crma.2009.04.002. http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2009.04.002/
[1] Green currents and analytic continuation, J. Anal. Math., Volume 75 (1998), pp. 1-50
[2] Heights of projective varieties and positive Green forms, J. Amer. Math. Soc., Volume 7 (1994), pp. 903-1027
[3] J.I. Burgos Gil, P. Philippon, M. Sombra, The height of a toric variety, tapuscrit, 2008
[4] Hauteur des hypersurfaces et fonctions zêta d'Igusa, J. Number Theory, Volume 83 (2000), pp. 226-255
[5] La hauteur des quadriques, C. R. Acad. Sci. Paris, Sér. I Math., Volume 324 (1997), pp. 1323-1326
[6] Introduction to Toric Varieties, Ann. Math. Studies, vol. 131, Princeton Univ. Press, 1993
[7] V. Maillot, Géométrie d'Arakelov des variétés toriques et fibrés en droites intégrables, Mém. Soc. Math. France, vol. 80, 2000
[8] Analytic torsion of Hirzebruch surfaces, Math. Ann., Volume 335 (2006), pp. 221-247
[9] Hauteur normalisée des variétés toriques projectives, J. Inst. Math. Jussieu, Volume 7 (2008), pp. 327-373
[10] Convex Analysis, Princeton Univ. Press, 1970
[11] Small points and adelic metrics, J. Algebraic Geom., Volume 4 (1995), pp. 281-300
Cited by Sources:
